Unity3D之点乘和差乘
一、向量
1、向量的数学定义
向量就是一个数字列表，对于程序员来说一个向量就是一个数组。
向量的维度就是向量包含的“数”的数目，向量可以有任意正数维，标量可以被认为是一维向量。
书写向量时，用方括号将一列数括起来，如[1,2,3] 水平书写的向量叫行向量 垂直书写的向量叫做列向量
2、向量的几何意义
几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段。向量的大小就是向量的长度（模）向量有非负的长度。
向量的方向描述了空间中向量的指向。
向量的形式：向量定义的两大要素——大小和方向，有时候需要引用向量的头和尾，下图所示，箭头是向量的末端，箭尾是向量的开始
向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移，例如2D向量列出的是沿x坐标方向和y坐标方向的位移。
3 unity中的向量 Vector类
Vector2 二维向量，表示 2D 的向量和点
Vector3 三维向量，表示3D的向量和点
Vector3.normalized 规范化，返回向量的长度为1（只读）。
Vector3.magnitude 长度，返回向量的长度（只读）。
Vector3.Angle 角度 ， Angle (from : Vector3, to : Vector3) ，由from和to两者返回一个角度。形象的说，from和to的连线和它们一个指定轴向的夹角
二、点乘
1 点乘的数学意义
2 点乘的几何意义
3点乘的特点
在向量u,向量v非零的前提下，点积如果为负，则u,v形成的角大于90度；
如果为零，那么u,v垂直；
如果为正，那么u,v形成的角小于90度。
3 点乘在unity中的应用
Vector3.Dot 点乘，对于normalized向量，如果他们指向在完全相同的方向，Dot返回1。如果他们指向完全相反的方向，返回-1。对于其他的情况返回一个数（例如：如果是垂直的Dot返回0）。对于任意长度的向量，Dot返回值是相同的：当向量之间的角度减小，它们得到更大的值。
三、叉乘
1 叉乘的数学意义
表示方法
两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。
定义
向量积可以被定义为：
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角(共起点的前提下)（0° ≤ θ ≤ 180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
也可以这样定义（等效）：
向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin
四、点乘与叉乘在项目中的应用
项目需求：
1 通过点乘计算物体B在物体A的前方还是后方
2 通过叉乘，计算物体A转向物体B时，最小角的旋转方向
实现过程：
首先计算出物体A的前方朝向向量v_Bz=B.transform.forward，然后计算物体B相对于物体A的位置向量 v_AB = A.position - B.position;
通过计算v_Bz与v_AB向量点乘结果的正负，判断物体B在物体A的前后
如果物体B在物体A前方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)大于0
如果物体B在物体A后方， Vector3.Dot(v_Bz,v_AB)小于0
通过计算v_Bz与v_AB向量叉乘的结果，判断旋转方向
如果逆时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴负方向
如果顺时针旋转，v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB)为沿y轴正方向
using UnityEngine;
using System.Collections;
public class Vector3_Dot : MonoBehaviour {
public Transform A, B;
Vector3 v_Bz, v_AB, v_A,v_B,v_C;
string str = "";
// Use this for initialization
void Start()
{
}
// Update is called once per frame
void Update()
{
//点乘
v_Bz = B.transform.forward;//B.transform.TransformDirection(Vector3.forward);
v_AB = A.position - B.position;
float f = Vector3.Dot(v_Bz,v_AB);
if (f>0)
{
str = "A在B自身座标系的前方";
}
else if (f<0)
{
str = "A在B自身座标系的后方";
}
else
{
str = "A在B自身座标系的左前方或右方";
}
//差乘
v_A = A.position;
v_B = B.position;
v_C = Vector3.Cross(v_Bz, v_AB);
// A.Rotate(0,0,0);
}
void OnGUI()
{
GUI.Label(new Rect(10,10,200,60),str);
}
void OnDrawGizmos()
{
//差乘绘制相关线
Gizmos.color = Color.blue;
Gizmos.DrawLine(-v_C,Vector3.zero);
//点乘绘制相关线
Gizmos.color = Color.yellow;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,A.position);
Gizmos.color = Color.yellow;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,B.position);
Gizmos.color = Color.red;
Gizmos.DrawLine(A.position, B.position);
Gizmos.color = Color.red;
Gizmos.DrawLine(Vector3.zero,v_AB);
Gizmos.color = Color.green;
// Gizmos.DrawLine(A.transform.position, Vector3.left);
}
}
总结：
点乘可以判断向量之间的夹角，叉乘可以判断向量之间的方向在顺时针还是逆时针方向
五判断敌我方位
1.判断目标在自己的前后方位可以使用下面的方法:
Vector3.Dot(transform.forward, target.position-transform.position)
返回值为正时,目标在自己的前方,反之在自己的后方
2.判断目标在机子的左右方位可以使用下面的方法:
Vector3.Cross(transform.forward, target.position-transform.position).y
返回值为正时,目标在自己的右方,反之在自己的左方
A.点积
点积的计算方式为: a·b=|a|·|b|cos<a,b> 其中|a|和|b|表示向量的模，<a,b>表示两个向量的夹角。另外在 点积 中，<a,b>和<b,a> 夹角是不分顺序的。
所以通过点积，我们其实是可以计算两个向量的夹角的。
另外通过点积的计算我们可以简单粗略的判断当前物体是否朝向另外一个物体: 只需要计算当前物体的transform.forward向量与 otherObj.transform.position- transform.position的点积即可， 大于0则在前方，否则在后方。
B.叉积
叉积的定义： c =a x b 其中a,b,c均为向量。即两个向量的叉积得到的还是向量！ 性质1： c⊥a，c⊥b，即向量c垂直与向量a,b所在的平面 。 性质2： 模长|c|=|a||b|sin<a,b> 性质3： 满足右手法则 。从这点我们有axb ≠ bxa，而axb = – bxa。所以我们可以使用叉积的y的正负值来判断向量a，b的相对位置，即向量b是处于向量a的顺时针方向还是逆时针方向
右手法则：右手的四指方向指向第一个矢量,屈向叉乘矢量的夹角方向（两个矢量夹角方向取小于180°的方向）,那么此时大拇指方向就是叉乘所得的叉乘矢量的方向.（大拇指应与食指成九十度）（注意：Unity当中使用左手，因为Unity使用的是左手坐标系）
数学上叉乘的右手法则
Unity当中叉乘的左手法则
Unity项目应用：
1.根据叉乘得到a，b向量的相对位置，和顺时针或逆时针方位。
简单的说: 点乘判断角度，叉乘判断方向。 形象的说: 当一个敌人在你身后的时候，叉乘可以判断你是往左转还是往右转更好的转向敌人，点乘得到你当前的面朝向的方向和你到敌人的方向的所成的角度大小。
2.得到a，b夹角的正弦值，计算向量的夹角（0,90），可以配合点乘和Angle方法计算出含正负的方向。
3.根据叉乘大小，得到a，b向量所形成的平行四边形的面积大小，根据面积大小得到向量的相对大小。
