更快的静态区间查询

前置知识： 一种期望线性的静态区间查询

保持上文中的假设，在处理块内查询时，我们考虑在块上递归地建成上文中的结构。

由于每块的块长是原长的 $\mathrm{\Theta }\left(\sqrt{n}\right)$，递归深度不会超过 $\mathrm{\Theta }(\log \log n)$。因此预处理的时空间复杂度均为 $\mathrm{\Theta }(n\log \log n)$ 的。

同理，单次查询时的复杂度是最劣 $\mathrm{\Theta }(\log \log n)$ 的（但是显然，在询问随机的情况下，期望复杂度仍为 $O(1)$）。

如果你追求更快的查询，可以考虑类似倍增求 LCA 的方法，做到单次 $O(\log \log \log n)$。

更进一步地，可以使用类似猫树地处理手段，将长度补齐到 $2^k$，显然这最多使长度翻倍，因此长度仍是 $\mathrm{\Theta }(n)$ 的。此时我们可以使用位运算和一些内置函数加快查询，做到最劣单次 $\mathrm{\Theta }(1)$。

我们继续这种思路，考虑如何支持修改，考虑不再暴力预处理整块间的查询，而是将上文中结构建在整块查询上，这样我们就得到一个 $O\left(\sqrt{n}\right)$ 单次修改的算法。