Barrett 约简

Barrett 约简是一种对于固定模数 \(n\) 快速计算

\[c=a\bmod n \]

的方法。

BF

众所周知地，我们定义模运算

\[a\bmod n=a-\left\lfloor\dfrac{a}{n}\right\rfloor\times n \]

因此，暴力计算模运算需要计算除法，考虑除法器设计复杂，并且可能不是恒定时间指令，时间和安全性都不优。

Algo 1

假设固定模数 \(n\)，并且除以 \(R\) 可以快速计算（后者在普通计算机上可以取 \(2\) 的整数次幂，实现为右移运算）。

Barrett 约简的思想是使用 \(\dfrac{m}{R}\) 估计 \(\dfrac{1}{n}\)。容易得到 \(m=\dfrac{R}{n}\)，为了使它成为整数，我们将其取下整，由于 \(n\) 是固定的，因此 \(m\) 可以预处理。

需要指出 Barrett 约简后结果的值域由 \([0,n)\) 变为 \([0,2n)\)，这是精度丢失导致的。

更具体的精度要求是

\[a\lt n^2\lt R. \]

对于 \(32\) 位整型的计算，要求 \(R\) 取 \(2^{64}\)，这样 \(m\) 可以有 \(32\) 位以上的精度，注意过程中涉及 \(128\) 位整型的计算。

struct Barrett {
  int64_t m, p;
  void init(int pp) {
    m = ((__int128)1 << 64) / pp;
    p = pp;
  }
  int64_t operator()(int64_t x) {
    return x - ((__int128(x) * m) >> 64) * p;
  }
} mod;

Algo 2

对于模乘运算，例如 \(c=a\times b\bmod n\)，假设 \(b,n\) 均固定，我们可以预处理 \(\left\lfloor\dfrac{bR}{n}\right\rfloor\)，然后使用

\[ab-\left\lfloor\dfrac{a\left\lfloor\dfrac{bR}{n}\right\rfloor}{R}\right\rfloor \]

代替 \(ab\bmod n\)。

思想与 \(\text{Algo 1}\) 类似。