哈希是将一个序列映射到一段整数区间的函数。

通常要求对于两个随机的等长的不同序列，哈希函数得到的值（以下简称 Hash 值）不同。

更概括地说，Hash 函数满足：

1. 序列相同时，Hash 值一定相同
2. 序列不同时，Hash 值大概率不同；若两个长度相等的不同字符串 Hash 值相同，我们称这是“哈希碰撞”。

实现

考虑各种原因，OI 上使用的哈希函数通常这样实现：

对于字符串 $S$，记其前缀 $S_{1\sim i}$ 的哈希值为 $H_i$。形式上记 $H_0=0$，则

或者，有封闭形式：

容易发现，实际上是将序列视为一个以 $\mathtt{base}$ 为进制的数。

为了控制值域，一般对一个大质数取模，或者让它自然溢出。

OI 界普遍认为取 $\mathtt{base}$ 为 $131$ 或 $13331$ 难以在随机数据下发生哈希碰撞（来源未知）。

但是对着你的程序总是能构造数据卡掉你，见工具 anti-hash。

快速求子串哈希值

对于比对两个序列的子串的情形，我们可以预处理哈希值做到单次 $O(1)$。

参考定义，容易发现：

预处理序列的前缀哈希值和 $\mathtt{base}$ 的幂即可。

利用快速子串哈希可以 $O(n)$ 做字符串匹配、$O(\log n)$ 求两个串的最长公共前缀等。

也可以快速去重，不必存储原串。

二维哈希

随便思考一个哈希方法是容易的，难点在如何快速求子矩阵的 Hash 值。

具体来说，对于矩阵 $A$，二维哈希的前缀矩阵定义为：

则其子矩阵 $A_{a..b,c..d}$ 的哈希值为