规范化理论：闭包，候选键，最小函数依赖，3NF分解
闭包
通俗点：求 “x” 的闭包就是求 “x” 能直接或者间接推出的属性的集合，使用符号表示就是
求解步骤
计算关系R的属性集X的闭包的步骤如下：
第一步：设最终将成为闭包的属性集是Y，把Y初始化为X；
第二步：检查F中的每一个函数依赖A→B，如果属性集A中所有属性均在Y中，而B中有的属性不在Y中，则将其加入到Y中；
第三步：重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集Y中为止。 最后得到的Y就是X的闭包
举个例子
关系R（A，B，C）满足函数依赖M（A -> B,A -> C,B -> AC）求A，B，C的闭包
求解A的闭包：此时需要求解A的闭包，那么根据上面的描述，初始状态Y = {A}
开始依次查找每一个函数依赖，如果函数依赖的左边只有A，并且右边的右边的元素不在Y中，就把它加入Y
首先碰到A -> B，B不在Y中，此时把B加入到Y, Y = {A,B}
再来遍历函数依赖，现在只要函数依赖左边是{A ，B ，AB}中的一个，我们都可以把右边的元素吸收至，碰到A -> C，左边是A，且右边是C，没有在Y中，我们将其加入Y 。此时Y = {A， B ，C}已经包含了所有元素，算法结束。所以A的闭包为{A，B，C}
求解B的闭包：初始状态Y={B}
依次遍历所有函数依赖，查找左边只有B的，查找到B -> AC，这个函数依赖的左边只有一个B，右边的元素不在Y中，我们将{A，C}加Y,此时Y已经达到{A，B，C}，算法结束。所以B的闭包为{A，B，C}
求解C的闭包：初始状态Y={C}
依次遍历所有函数依赖，查找左边只有C的，查找不到，已经没有属性可以添加至Y中，算法结束。所以C的闭包为{C}
至此，闭包求解结束。
候选键
设关系模式R的属性集是U，X是U的一个子集，F是在R上成立的一个函数依赖集。如果X→U在R上成立（即X→U在F+中），那么称X是R的一个超键。如果X→U在R上成立，但对X的任一真子集X'→U都不成立（即X'不在F+中，)，那么称X是R上的一个候选键，候选键是最小的超键。
求解候选键的算法
对于一个给定的关系模式，需要先对关系模式中的属性分类。以-> 为界限，左右分开
（1）L类：仅出现在F中的函数依赖左部的属性；
（2）R类：仅出现在F的函数依赖右部的属性；
（3）N类：在F的函数依赖左右两边均未出现的属性；
（4）LR类：在F的函数依赖左右两边均出现的属性。
例子：设有关系模式R(A, B, C, D, E, P)与它的函数依赖集F={A→D, E→D, D→B, BC→D, DC→A}
对其分类：
A，既有左边也有右边 A→D DC→A
B，既有左边也有右边 D→B BC→D
C，只出现在左边 BC→D
D，既有左边也有右边 D→B, BC→D, DC→A
E，只出现在左边 E→D
P，未出现
所以
L类：C，E
R类：空
N类：P
LR类：A，B，D
根据以下定理和推论来求解候选码。
定理1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是L类属性,则X必为R的任一候选码的成员。
推论1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F若X(X∈R)是L类属性,且X包含了R的全部属性,则X必为R的唯一候选码。
定理2:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是R类属性,则X不在任何候选码中。
定理3:设有关系模式R及其函数依赖集F,如果X是R的N类属性,则X必包含在R的任一候选码中。
步骤:
（1）根据上文已经分好的类，继续下面的步骤。令X代表L、N两类，Y代表LR类。
（2）求X+。若X+包含了R的全部属性，则X即为R的惟一候选码，只需转(5);否则转（3)
（3）在Y中逐一取每个属性A,求（AX）+。若它包含了R的全部属性,则XA是R的一个候选键，再换Y中另一个属性反复进行这一过程，直到试完Y中所有的属性；
(4）在Y中依次取两个、三个属性...求它们的属性闭包直到其闭包包含R的
全部属性。
(5)输出结果。
继续上面的例子，此时X=PCE Y= ABD
首先求X+
求得（PCE）+ =(A, B, C, D, E, P) ，所以PCE是唯一候选码，算法结束。
举第二个例子
设有关系模式R(A, B, C, D, E)与它的函数依赖集F={A→BC, CD→E, B→D, E→A}，求R的所有候选键。
首先分类
L类：
R类：
N类：
LR类：A，B，C，D，E，F
那就直接从LR中挑选元素，首先挑选A，计算A的闭包，
A+ = (A, B, C, D, E) ，所以A就是候选码
接着试B，求 B+ =（B，D）
接着试C，求 C+ =（C）
接着试D，求 D+ =（D）
接着试E，求 E+ = (A, B, C, D, E) ，所以E就是候选码
试完了单个了，继续试两个元素的，首先试BC，计算闭包
（BC）+ = (A, B, C, D, E) 所以BC就是候选码
接着试BD，求 BD+ =（B，D）
接着试CE， （CE）+ = (A, B, C, D, E)所以CE就是候选码
至此，算完了所有的候选码。因此，关系模式R的所有的候选键分别是A、E、BC和CD。
最小函数依赖
最小函数依赖存在的意义
在关系数据模型中，一个关系通常由R(U,F)构成，U为属性的全集，F为函数依赖集。在实际生活中，我们可以根据语义来定义关系中属性的依赖关系，例如学号可以唯一确定一位学生的姓名、性别等等。但是，有时候给出的函数依赖集并不是最简的，这有时会拖累我们对关系的后续处理，例如关系的分解、判断是否为无损分解等。所以，我们在必要时，需要对函数依赖集进行化简，这就是需要最小函数依赖集的原因。
最小函数依赖的求解算法
- 首先将函数依赖集中右部不为单个属性的分解为单个属性,比如 A->BC 分解为A->B A->C
- 接着试着删除函数依赖集中的每一个函数依赖，并且计算删除函数依赖左部的闭包，如果该元素的闭包包含函数依赖的右边，则说明这个函数依赖是多余的，可以删除。否则，留下。比如：F = {B→D,DG→ C,BD→ E,AG→ B,ADG→ B,ADG→C}
删除B→D，求（B）+ = {B},不包含D，所以不删除
删除DG→ C，求（DG）+ = {D，G},不包含C，所以不删除
删除BD→ E，求（BD）+ = {B，D},不包含E，所以不删除
删除AG→ B，求（AG）+ = {A，G},不包含B，所以不删除
删除ADG→ B，求（ADG）+ = {ABCDGE},包含B，所以删除
删除ADG→C，求（ADG）+ = {ABCDGE},包含C，所以删除
此时，F变为{B→D,DG→ C,BD→E,AG→ B}
- 对于经过第2步筛选后的函数依赖集F中每个左部不为单个属性的函数依赖AB →Y，进行以下操作：
因为我们试图去除A或者B，我们先计算在不删除A或者B情况下（这里以A为例）A的闭包，然后计算将函数依赖集AB →Y变成B→Y之后B的闭包。
如果二者相等，则说明它们是等价的，A可以去除；如果不相等，则A不能去除。如果A不能去除，再试B。
针对上面的式子{B→D,DG→ C,BD→E,AG→ B}
以DG→ C为例，
未做任何变动下，计算G+={G}
删除D，即G→ C，计算G+={G，C}
二者不相等，所以不能删除D
未做任何变动下，计算D+={D}
删除D，即G→ C，计算G+={D，C}
二者不相等，所以不能删除G
以BD→E为例，
未做任何变动下，计算D+={D}
删除B，即D→ E，计算D+={D，E}
二者不相等，所以不能删除B
未做任何变动下，计算B+={B,D,E}
删除D，即B→ E，计算B+={B,D,E}
二者相等，所以能删除D
化简后式子变成，B→ E
同理可以处理AG→ B，R的最小函数依赖集为
F = {B→D,DG→ C,B→ E,AG→ B}
3NF分解
将关系R转化3NF的保持函数依赖的分解
- 首先计算出F的最小依赖集F'，比如根据上述算法已经算得F'=
- 观察U中是否有属性未在F'中出现，如果有，则这个属性组成一对关系R,并在原来的U中删除这些属性。F'已经包含所有的属性。
- 对F'中的函数依赖，把左边的相同分为一组，一组中出现的所有属性为一个关系。如F={A→B，A→C，……}，左边都为A的分为一组，出项的所有属性组为一个关系R{A，B，C，……}
所以得到R1（A，B，C） R2（A，D，E）R3（E，D）
将关系R转化3NF的既有无损连接性又保持函数依赖的分解
- 先计算R转化3NF的保持函数依赖的分解。这个可以直接通过上一步得到。
- 计算出候选码，这里可以使用上面已经介绍的方法求解。候选码为AD和AE。
- 将候选码单独组成关系得R4{A,D}和R5{A,E}，然后与保持函数依赖后的分解取并集。得R1{A,B,C}，R2{A,D,E}，R3{E,D}，R4{A,D}，R5{A,E}。
- 观察新组成的分解模式中，是否存在包含关系，有则去掉被包含的。如R3{E,D}，R4{A,D}，R5{A,E}都包含于R2{A,D,E}，则删去，最终得到转化3NF的既有无损连接性又保持函数依赖的分解R1{A,B,C}，R2{A,D,E}。
