证明二叉查找树所有节点的平均深度为O（logN）

数据结构与算法分析（c语言描述）第4章 P78

 

概念一：一棵树所有节点的深度和称为内部路径长

 

令D（N）为一棵有N节点的树的内部路径长么，即有D（1）=0，

设一棵树的左子树的内部路径长为D（i），则右子树的内部路径长为D（N-i-1）（右子树节点个数=N-左子树节点个数-根节点）

综上：

D（N）=D（i）+D（N-I-1）+N-1 (在原树内，左子树与右子树所有节点的深度+1，总共深度增加N-1）

 

 

如果所有子树大小都等可能出现（对于左子树或右子树来说，大小在0—N-1之间浮动，比如：左子树的大小最小为0，最大为N-1，这其中任何值都是等可能出现的）

则D（i）与D（N-i-1）的平均内部路径长为（1/N)∑D(j) （上标=N-1,下标=0）

综上：

D（N）=(2/N)*∑D(j)+N-1

再根据p185页化简可得：D（N）=O（logN）

所以，二叉查找树所有节点的平均深度为O（logN）

由此引申可得二叉查找树Find的运行时间为O（logN），Insert，Delete操作的核心步骤皆为Find，所以，Find，Insert，Delete的平均运行时间为O（logN)