用概率树分析羊车问题

羊车问题

羊车问题（又称蒙提·霍尔问题，The Monty Hall problem）是一道著名的概率问题，它源于一个电视节目游戏：

如果你是一个游戏的参赛者，在你面前有3扇关闭的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。主持人知道门后的情况，而你不知道。你的目标就是要猜出哪扇门后是汽车，如果猜对，汽车就归你了。首先，你可以随便选中一扇门，我们称之为A门，其他两扇为B门和C门；然后，主持人会打开B或C中的一扇是山羊的门，帮你排除掉一扇门;最后，主持人会问你是否改变最初的选择？你可以坚持选择A门，也可以选择另一扇未打开的门。

关于这道题，出现了许多种不同的分析，彼此争论不休，比如下面这些典型的分析：

分析1： 第一次选择A、B、C门正确的概率为1/3；主持人排除一扇门并不会改变A, B, C的概率，所以，不管是否改变概率都是1/3。

分析2： 第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门以后，剩下两扇门的概率都相应地变成了1/2。所以，不管是否改变概率都是1/2。

分析3： 第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升为1/2。

分析4： 第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升到2/3。

这么多种分析，到底那种正确呢？其实，通过概率树就可以直观地看出来：

在不换选策略下，第一次选对的概率为1/3，选错的概率为2/3。如果第一次选对，那么继续选对的概率为1。如果第一次选错，那么继续选错的概率也为1。所以，最终选对的概率为1/3。

在换选策略下，第一次选对的概率为1/3，选错的概率为2/3.如果第一次选对，那么改变后选对的概率为0.如果第一次选错，那么改变后选择对的概率为1.所以，最终选对的概率为2/3.

有了概率树这个工具以后，对于问题的分析就直观多了。我们还可以进一步思考：假如问题变为n扇门，主持人排除m扇门，那么改变选择和不改变选择两种策略选对的概率分别是多少？

贝叶斯推断问题

概率树不仅可以用于解决羊车问题，对于经典的贝叶斯推断也非常有用，下面是一个典型的例子：

在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为1/2，女性穿凉鞋的概率为2/3，并且该公园中男女比例通常为2:1，若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，请问它的性别为男性或女性的概率分别为多少？

学过概率论的朋友都知道这就是最经典的贝叶斯推断问题。根据贝叶斯公式：

P(A | B) = P (A && B) / P(B) = P(A) * P(B | A) / P(B)

可以推出

P(男  | 穿凉鞋)

= P(男 AND 穿凉鞋) / P(穿凉鞋)

= P(男) * P(穿凉鞋 | 男) / P(穿凉鞋)

= (2/3 * 1/2) / P(穿凉鞋)

= (1/3) / P(穿凉鞋)


P(女 | 穿凉鞋)

= P(女 AND 穿凉鞋) / P(穿凉鞋)

= P(女) * P(穿凉鞋 | 女) / P(穿凉鞋)

= (1/3 * 2/3) / P(穿凉鞋)

= (2/9) / P(穿凉鞋)


1 = P(男 | 穿凉鞋) + P(女 | 穿凉鞋) = (1/3 + 2/9) / P(穿凉鞋)

=>

P(穿凉鞋) = 5/9

P(男 | 穿凉鞋) = 1/3 * 9/5 = 3/5

P(女 | 穿凉鞋) = 2/9 * 9/5 = 2/5

上面的解法需要熟悉贝叶斯公式，这并不是每个人都能随时记住的，下面我们通过一个概率树来分析，这就十分直观了。

根据概率树，我们可以直观的看到各个分支的概率情况

P(男|穿凉鞋) / P(女|穿凉鞋)=(2/3 * 1/2) / (1/3 * 2/3) = 3/2