杭电1024Max Sum Plus Plus

 地址：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

题目：

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

 

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

 

 

Sample Input

1 3 1 2 3 2 6 -1 4 -2 3 -2 3

 

 

Sample Output

6 8

Hint

Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

 

 

一开始，题目都没看懂，（os：题目讲的什么鬼，英语差就是心酸= =）

后来看懂了题目意思后也没做出来，没想到那种dp方法，好心累，估计是dp题做得少的原因吧。。

之后看了看了几个人的博客，才会的，原地址http://blog.csdn.net/lishuhuakai/article/details/8067474

还有一个的忘了。。。

先讲下题目意思吧：先讲下连续最大子段和，就是给你n个数，a[1]....1[n]，求a[i]+.a[i+1]...+a[j]的最大值。

　　　　此时状态转移方程：dp[i]=a[i]+(dp[i-1]>0?dp[i-1]:0)（dp【i】代表选了a【i】时的最大子段和）

　　     呃，不知道怎么表达了，上图吧：

　　　　

dp[i]\a[i]	2	-1	3	-8	9
1	2
2		1
3			4
4				-4
5					9

　　　　对于连续最大和，只需要扫描一遍数组就好了

　　　　1024题呢，就是把n个数分成x(x∈[m,n])段后，求这其中m个的子段和（不相交）的最大值；　　

　　　　由连续最大子段和的解法可以推广到求m个最大字段和，

　　　　　　　　　　　　　dp[i][j] = max(dp[i][j-1],max(dp[i-1][k]))+a[j];（i-1<=k<=j-1)

　　　　其中dp【i】【j】时，前j个元素中取i个子段的最大和（一定取了a【j】）

　　　　所以由dp[i][j-1]到dp[i][j] 时，有两种取法：

　　　　1：a[j]和前一个以a[j-1]的子段合并

　　　　2：独立成一个子段；

　　    以题目的第二组数据为例：

　　　　

dp i\j)	-1	4	-2	3	-2	3
1	-1	4	2	5	3	6
2	\	3	2	7	5	8
3	\	\	1	6	5	10
4	\	\	\	4	4	9
5	\	\	\	\	2	7

　　　　

 

 

 

 

maxtemp	\	\	\	\	\	\
1	-1	4	4	5	5	\
2	\	3	3	7	7	\
3	\	\	1	6	6	\
4	\	\	\	4	9	\
5	\	\	\	\	2	\
	\	\	\		\	\

 

 

 

 

 

　　　

没写的代表不用算。。。

　　　　这样dp方程就有了，不过因为题目所给的数据较大，1 ≤ n ≤ 1,000,000,

　　　　空间复杂度：m*n，很容易就超了

　　　　时间复杂度：n^3，也是会超的

　　　　所以继续优化，容易看出，每次使用dp方程时，其实只涉及到两个数组dp[i][k]和dp[i-1][k]，所以可以化简为两个数组dp1[i],dp2[i]储存。

　　　　这样空间复杂度就降低到m了

　　　　然而时间复杂度没变，继续优化，我们可以用另一个数组maxtemp[i]来储存max(dp[i-1][k])（i-1<=k<=j-1),

　　　　所以dp方程变为：

　　　　　　　　dp[i][j] = max(dp[i][j-1],maxtemp[i-1])+a[j];

　　　　这样时间复杂度就变成n^2了，可以接受了。

　　　　其实，空间还可以优化，用一个dp数组就可以了，因为dp[i]从左向右递推时，只和dp[i-1]，maxtemp[i-1]有关，

　　　　所以可以删去dp2[i].

　　　　上代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <vector>

#define N 1000010
#define PI acos((double)-1)
#define E exp(double(1))
using namespace std;
int dp1[N];
int maxtemp[N];
int a[N];

int main(void)
{
    int n, m, max1;
    while (scanf("%d%d", &m, &n) == 2)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        dp1[1] = maxtemp[1] = max1 = a[1];
        for (int i = 2; i <= n; i++)
        {
            if (max1 >= 0)
            {
                dp1[i] =  a[i] + max1;
                max1 += a[i];
            }
            else
            {
                dp1[i] = a[i];
                max1 = a[i];
            }
        }
        for (int i = 2; i <= m; i++)
        {
            maxtemp[i-1] = dp1[i-1];
            for (int j = i ; j < n; j++)
            {
                if (maxtemp[j - 1]<dp1[j])
                {
                    maxtemp[j] = dp1[j];
                }
                else
                    maxtemp[j] = maxtemp[j - 1];
            }
            for (int j = i; j <= n; j++)
            {
                if (i == j)
                    dp1[j] = maxtemp[j - 1] + a[j];
                else
                    dp1[j] = max(dp1[j - 1], maxtemp[j - 1]) + a[j];
            }
        }
        max1 = dp1[m];
        for (int i = m; i <= n; i++)
            if (max1<dp1[i])
                max1 = dp1[i];
        cout << max1 << endl;

    }
    return 0;
}