深度之眼（十）——矩阵特征值与特征向量

文章目录

• 一、向量的线性相关，线性无关以及和可逆矩阵的关系
• • 1.1 线性相关与线性无关
  • 1.2 线性相关与可逆的关系
• 二、向量的内积，范数，正交，规范正交基
• • 2.1 内积
  • 2.2 范数与正交
  • 2.3 规范正交基
• 三、施密特正交化
• • 3.1 定义
  • 3.2 例
  • 3.3 正交矩阵
• 四、特征值和特征向量的定义以及直观的意义
• • 4.1 定义
  • 4.2 例（二阶）
• 五、特征值与特征向量的求法以及常用性质
• • 5.1 例1（三阶）
  • 5.2 例2（三阶）
  • 5.3 一些性质和推广
  • 5.4 例
  • 5.5 定理

一、向量的线性相关，线性无关以及和可逆矩阵的关系

1.1 线性相关与线性无关

k是不全为零的

1.2 线性相关与可逆的关系

二、向量的内积，范数，正交，规范正交基

2.1 内积

2.2 范数与正交

线性无关不一定正交，但是正交一定线性无关

2.3 规范正交基

三、施密特正交化

3.1 定义

3.2 例

先利用公式进行正交化，再归一化

3.3 正交矩阵

a^T_ia_i = 1
a^T_ia_j = 0(i != j)

四、特征值和特征向量的定义以及直观的意义

所有特征值加起来等于矩阵的迹
所有特征值乘起来等于矩阵的行列式

4.1 定义

4.2 例（二阶）

五、特征值与特征向量的求法以及常用性质

5.1 例1（三阶）

5.2 例2（三阶）

例1和例2的区别
例1是有二阶重根，只有一个线性无关的解
例2也是有二阶重根，但是有两个线性无关的解
例1有亏损，例2无亏损
这和后面矩阵是否可对角化密切相关的

博主对于这里的有无亏损，还是不是很懂，补补线代
、

还有这句话：重根应该就是向量在不同维度上的缩放率相同。
所以重根只是放缩率一样，可以有一个或多个x解
谢谢群里的小伙伴和那个微信好友啦~~

5.3 一些性质和推广

5.4 例

5.5 定理