分治

分治

基本介绍

分治法，即“分而治之”，对于一个难以解决的大问题，将其分解成 \(k\) 个相同或相似的规模更小的子问题，一直分解直到问题足够小，极容易求解为止。

解题步骤

分治法建模的大概流程可以分为三步：

1. 分解：将大问题分解成多个更小的独立且相同或相似子问题，直到子问题容易容易求解
2. 解决：递归解决子问题
3. 合并：将子问题的解一层一层合并，直到最终合并成原问题的解

题目特征

一般能用分治法求解的题目有以下特征：

1. 最优子结构：该问题可分解为若干个规模较小的子问题，并且子问题规模缩小到一定程度就能够容易解决，同时子问题的解能够合并为该问题的解
2. 平衡子问题：子问题规模大致相同，能将原问题划分为 \(k\) 个大小差不多相等的子问题。一般子问题规模相等的处理效率，相较规模不等的处理效率更高。
3. 独立子问题：子问题之间相互独立，子问题之间不包含公共的子问题。这是区别于 dp 的根本特征。在 dp 中，子问题之间是相互联系的。

时间效率

分治法解决大规模的问题时，会将问题分为k个子问题分别求解。一般 \(k=2\)，即分成两个规模相同的子问题求解。

对于分治，不仅能使问题更容易理解，常常也能大大优化时间复杂度。一般体现就是把时间复杂度为 \(O(n)\) 的某个操作优化为 \(O(\log n)\)。

这是根据分治的局部优化，有利于全局的特点，将解决一个子问题的影响力扩大到了全局，最终优化时间复杂度。

应用

分治法应用广泛，二分、归并排序、快速排序等算法都是基于分治衍生的。从数学、搜索，到数据结构、动态规划无不看出分治思想在其中神奇的作用。

update

2023.5.26大体构架完成

2023.7.17完善部分格式问题,删除部分无意义内容。

参考资料：oiwiki、算法竞赛(罗勇军、郭卫斌著)