高等数学第二章 导数与微分
有三个同阶无穷小比较重要。所以手动证明了一遍,加深记忆。
#define lim=lim(x->0)
lim(loga(1+x))/x=1/Ina ---->In(1+x)~x;
lim(a^x-1)/x=Ina ------>e^x-1~x;
lim((1+x)^a-1)/x=a ---->(1+x)^a-1~ax;
由于电脑上输入比较麻烦。手写输入更快乐。
这三个等价无穷小应用还是比较广泛的,尤其是在生活中,就像x很小的时候,sinx,tanx 是可以直接用x替代的,又或是(1+0.05)^2是可以直接用上面第三条公式直接求出近似解的,很方便在生活中。
导数相加相乘的规律(u+v)'=u'+v' 相减无非就是给v换个符号,与相加无异,而相乘的规律(uv)'=u'v+uv' 相除就是把v替换乘1/v.(u/v)’也只是(uv)‘的衍生。
后面是导数的一些证明,这些证明还是蛮有意思的,也要用到上面的等价无穷小,证明过程比较有趣,所以我手动证明了一遍:
大概就是这样了。
后面有关于三角函数的一些东西,由于好久不用了,有些生疏,所以在此记录一下。
![](http://b.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D250/sign=b82afafba744ad342abf8082e0a20c08/9825bc315c6034a877d6e097cd134954092376eb.jpg)
![](http://d.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D248/sign=d19c0ffff4d3572c62e29bd8b2136352/eaf81a4c510fd9f90c670d7f232dd42a2834a4b0.jpg)
![](http://a.hiphotos.baidu.com/baike/s%3D193/sign=d46ede1335fa828bd52399eace1f41cd/38dbb6fd5266d0166174c43e912bd40735fa35b2.jpg)
cotx=1/tanx;
secx=1/cosx;
cscx=1/sinx;
反函数这个东西还是比较有趣,可以用来求解反三角函数。同事高阶导数中一些规律个人感觉还是比较好玩的,这章内容比较简单,所以我也是按着课本简单证明,一遍复习,一遍学习。
高阶导数中(uv)^n 是可以关于牛顿二项式的证明,还是比较好玩的。毕竟牛顿二项式在我看来还是蛮有趣的。
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/1160439/201705/1160439-20170509105037847-1382510695.jpg)
而后就是隐函数的求导,隐函数无非就是注意xy=x‘y+xy' 别的情况就在y后面加一个y’,挺暴力的,特别主要注意的就是幂指函数,在两边取对数就变得很简单了。
在后面就是微分,微分就是函数在图像到应用的一个跳板而已。证明的过程同样也用到了等价无穷小,所以我看过来发现无穷小这个东西还真的蛮有趣的。