hihocoder1489 Legendary Items (微软2017年预科生计划在线编程笔试)
http://hihocoder.com/problemset/problem/1489
笔试题第一道,虽然说第一道都很水,但是我感觉这题不算特别水把。。这道题我就卡住了我记得,tle,最后只有30分,比较惨烈。我个人感觉这道题正解比较难想把,那时候太年轻,没有想到当item很大时,可以从第八道item开始就把初始p当成0来计算。。不过我试了一下,发现即使如此,还要计算每次的数学期望,反正我当时要是不知道,Ei和Ei+1之间的联系,应该还是算不出来。。我太麻瓜了。。
贴一下我tle代码,思路就是dfs这个概率树。。非常完美可惜不行。
#include <iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string.h> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; double startp,q; int n; double getsum(int all,int num,double p,double sum) { double left,right; if(num==n) return sum*all; if(p>=1) { right=0; double nextp; if(num>=7) nextp=0; else nextp=startp/(1<<(num+1)); left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum); } else if(p==0) { left=0; right=getsum(all+1,num,q,sum); } else { right=getsum(all+1,num,p+q,sum*(1-p)); double nextp; if(num>=8) nextp=0; else nextp=startp/(1<<(num+1)); left=getsum(all+1,num+1,nextp,sum*p); } return left +right; } int main() { double res; scanf("%lf %lf %d",&startp,&q,&n); startp/=100; q/=100; res=getsum(0,0,startp,1); printf("%.2lf\n",res); return 0; }
这题很关键的一点的就是,就是不同个数的期望是可以相加的。这个地方我一直很不明白,非常困惑,哇,要是我知道是这样,就直接相加了啊,谁还写dfs啊。。
http://www.mamicode.com/info-detail-1759090.html 这个我看了这个博主给的解释:
其实我们发现图中那两个标号 1 的节点子树是一样的,它们获取下一个物品的情况和期望都是一样的。我本来在考虑不同情况下拿到第一个,开始拿第二个,第二个和第一个是不是独立的?但是其实所有情况下拿到第一个的概率总和是1,所以无论 dfs 的哪一个分支,最后都会到同一个初始概率去获取第二个,所以获取第二个的期望与第一个是独立可加的。
我比较愚钝,还是不能非常理解。。相互独立的话,可是题意中给的式子是
2*50%*25% + 3*50%*75%*100% + 3*50%*100%*25% + 4*50%*100%*75%*100% = 3.25
意思是每个都是和做掉的任务个数是相关的,并且是累加的。。就是完成了1件传说后,已经完成了2个任务,然后下次就要从3开始算,并且概率还要相乘。。算的话看起来好像不是直接相加就好了。。当然博主说的很好也是对的。。只是我乍一看并不是非常理解。。
http://blog.csdn.net/sddyzjh/article/details/68950610 还有这个博主,
那么期望的计算式可以写成Ei=Σpk∗lk,其中pk表示做了lk个任务后拿到i个奖励的概率
用Pi表示⌊P2i⌋%
接着考虑Ei+1=Σp′k∗l′k
=Pi+1∗Σpk∗(lk+1)
+(1−Pi+1)∗(Pi+1+Q%)∗Σpk∗(lk+2)
+(1−Pi+1)∗(1−Pi+1−Q%)∗(Pi+1+2Q%)∗Σpk∗(lk+3)+...
直到Pi+1+kQ%超过1结束
于是用ci=Σpk
Ei+1=Σp′k∗l′k
=Pi+1∗(Ei+ci)
+(1−Pi+1)∗(Pi+1+Q%)∗(Ei+2ci)
+(1−Pi+1)∗(1−Pi+1−Q%)∗(Pi+1+2Q%)∗(Ei+3ci)+...
直接用算的,求出Ei+1和Ei的关系,答案就很明显了。看了式子之后,发觉写的很好,很容易理解。应该可以根据这个规律直接code,博主给的代码也蛮好理解的。
其实有一个很明显的地方值得注意。其实我们可以发现Ei=Σpk∗lk跟概率论的数学期望很相似啊。这道题其实就是让我们求数学期望,我之前一直不知道在想什么,把绕来绕去。。我们可以发现Ei是绝对收敛的呀。要是k无限大,就是完成的任务无限多的时候,概率是趋于1的呀讲道理啊,就是完成任务无限多,不是肯定要完成传说任务的。
数学期望其实就是一个加权平均意思,这道题中的意思就是当给定了n,即要完成n个传说任务,加权平均一下,数学期望在这里表示的就是要完成平均多少个任务才能完成n个传说任务。数学期望在物理上就是一堆质点的重心,也就是加权平均。两个铁块已知重心的话,把他们重叠起来,在坐标轴上新的重心不就是两个重心的中点嘛,所以是可以直接相加的。
设C为一个常数,X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质:1.E(C)=C2.E(CX)=CE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X和Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y)性质3和性质4可以推到到任意有限个相互独立的随机变量之和或之积的情况。
![](https://images2015.cnblogs.com/blog/1160439/201705/1160439-20170506191529054-269500980.png)
#include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=1e6+5; const int INF=0x3f3f3f3f; double ans=0; double num[105] = {0}; int n,p,q; int main() { scanf("%d%d%d",&p,&q,&n); for(int pre = 0 ; pre <= 100 ; ++ pre ) { int cnt = 0; double p1 = 1; while(1) { double xq = ( pre + cnt * q) / 100.0; if( pre + cnt * q >= 100 ) { num[pre] += ( cnt + 1 ) * p1 ; break; } num[pre] += p1 * xq * ( cnt + 1 ); p1 *= ( 1 - xq ); cnt++; } } int pre = p; for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i ) { if( pre == 0 ) { ans += ( n - i + 1 ) * num[0]; break; } ans += num[pre]; pre >>= 1; } printf("%.2lf\n",ans); return 0; }