求解递归式，计算时间复杂度

方法一：代换法

代换法主要需要以下两个步骤

1、  猜答案，不需要完全猜出来，不需要知道常熟系数的准确值，而只需要猜出它的形式，比如猜一个递归式的时间复杂度大概是O(n²)，即它的运行时间应该是一个常熟乘以n²，可能还会有一些低阶项。

2、  用数学归纳法证明之，设法求出常数系数可以使问题成立

例如 T(n)= 4T(n/2) +n ， [T(1) = O(1)]

通过观察该递归式，注意到当n加倍时，输出增加4倍，于是猜测该递归式时间复杂度为O(n²)，即T(n) = O(n²) 。不过直接证明时间复杂度是n²有点困难，可以先从一个更简单的开始，比如猜测它的时间复杂度是n³，下面用归纳法证明它。

很显然在n=1的时候是成立的，只需要一个比较大的常数就够了。

在用归纳法证明过程中是不能使用O符号的，所以需要用常熟系数展开它，

假设T(k) ≤ ck³ (k<n) ，带入上面递归式，得到

T(n) ≤ 4c(n/2)³ + n = 1/2cn³+n = cn³-(1/2cn³-n)≤cn³ 如果cn³-n≥0

可以看到当c≥1,n≥1的时候，该不等式是成立的，即T(n)小于等于一个常数乘以n³,只需要该常数大于等于1，这样就得到了一个上界，但不是严格意义上的上界，因为我们觉得对于n²它也应该是成立的，下面开始证明n²的情况，于是抄袭上面的步骤再来一次，得到

T(k) ≤ ck²(k<n)

T(n) ≤ 4c(n/2)² + n =cn²+n= cn²-(-n) 这儿无法得到T(n) ≤cn² ,假设是错的？囧，看样子假设里需要一个低阶项，于是继续假设

T(k) ≤ c₁k²-c₂k(k<n)

T(n) ≤4[c₁(n/2)²-c₂(n/2)]+n=c₁n²+(1-2c₂)n = c₁n²-c₂n-(c₂-1)n≤c₁n²-c₂n 如果c₂≥1

这样就证明了，对于任意的c₁,只要c₂大于等于1，那么不等式就成立。但事实上，当n=1的时候，要求c1>c2,不等式才能成立，因此c1要尽可能的大，至少要比c2大。

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方法二：递归树法

递归树法主要是通过递归树将递归式展开来找到答案，然后再用代换法证明它，因为递归树法是不严谨的。

例如，用递归树法求T(n) = T(n/2) + n² , 用递归树法将该递归式展开

像这样将递归树展开并延伸下去，最终到叶子节点就只剩下T(1)，那么该递归树的高度就是logn，因为从顶点n出发，到n/2,到n/4,……最后到1，那么从n到1的折半次数是logn，即高度是logn（应该是一个常数乘以logn，不过没多大关系）。而最下面叶子节点的数目是n，因为从第一层往下，节点数变化为1,2,4,8……，如果树的高度是h，那么就会有2^h个叶节点，而高度是logn，那么2^logn=n。那么，整体所做的工作加起来就是T(n)了

T(n) = [1+1/2+1/4+……]n² = 2n²,于是可知时间复杂度为T(n) = O(n²)。

再例如，用递归树法求T(n) = T(n/4)+T(n/2)+n² ,下面用递归树的方法将该递归式展开

最后，求叶子节点的数目有点麻烦，因为分支的递归速度是不一样的，左边降低到n/16的时候，右边才降低到n/4，左边子树的高度将会比右边子树的高度要小。可以看到叶子节点的数目必然小于n，因为最开始的问题大小是n，然后递归成一个n/4和n/2的两个子问题，直到最后递归到1停止，而n/4+n/2 < n , 所以最后叶子节点的数目不会超过n，将每层求和就得到T(n)，经过观察发现一个等比数列，于是数学归纳法开始派上用场

T(n) = (1+5/16+25/256+……)n²≤2n² = O(n²)   于是得到该递归式时间复杂度为O(n²)，因为是猜出来的等比数列，于是需要用数学归纳法证明之，就又变成方法一中代换法求证了。

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方法三：主方法 (master method)

该方法仅适用于特定格式的递归式

同时要求f(n)渐进趋正，即当n->无穷时，f(n)>0。（我觉得上图中第2,3中少了个logn，具体请参考算法导论一书中对时间复杂度的讨论）

例如:

T(n)=4T(n/2)+n ， 则a=4,b=2,f(n)=n，计算n^log(b,a)=n²>f(n) , 满足模式一，因此T(n) = n^log(b,a)=O(n²)

T(n)=4T(n/2)+n²，则根据上面计算，满足模式二，因此T(n)=O(n²logn)

T(n)=4T(n/2)+n³，满足模式三，T(n)=O(n³)

对于该方法的正确性，可以通过递归树的方法证明，懒的画了，可以在大脑里构思出这样一个草图：

在第一层，f(n)分解为a个子问题，每个子问题都是f(n/b)，第二层每个子问题又分解为a个子问题，每个问题都是f(n/b²)……这样递归分解下去，最后的叶子还是O(1)，整个树的高度就是log以b为底n的对数，整个的叶子节点数目为a的log以b为底n的对数次方（a^log(b,n)），即n^log(b,a)个叶子节点。每个分支的递减速度是一样的，将每层都加在一起便得到T(n) ，此时就需要对f(n)的情况进行讨论（于是就是上面的1,2,3）。