Extend_Eculid扩欧

Extend_Eculid扩展欧几里得算法：ax + by = Gcd(a,b)

感谢优秀博客：扩展欧几里德算法详解
先回顾一下欧几里得算法求Gcd(a, b)

int Gcd(int a, int b){
    if(b == 0)
        return a;
    return(b, a%b);
}

对于ax + by = Gcd(a,b)的求解，注意a，b要求为非负整数，并且该方程一定有解

先推导出一组特解\(x_0\)吧
欧几里得算法利用的等式:\(Gcd(a, b) = Gcd(b, a\%b)\)
于是这里有：\(ax+by = bx+(a\%b)y\)
\(bx_1+(a\%b)y_1\)
\(= bx_1+(a-a/b*b)y_1\)
\(= ay_1+b(x_1-(a/b)y_1)\)

• 那么可以在递归求Gcd过程中，计算ax + by = Gcd(a,b)了：
  依据上面的\(ax+by = ay_1+b(x_1-(a/b)y_1)\)
  令上一深度的x为下一深度的y，上一深度的y为下一深度的x-(a/b)y
  递归的出口即b = 0,x = 1, y = 0
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void Extend_Eculid(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{               //求解ax + by = Gcd(a,b) 
    if(!b)
    {
        x = 1; y = 0;
        return;
    }
    // Extend_Eculid(b, a%b, x, y);
    // int t = x;
    // x = y;
    // y = t-(a/b)*y;
    // 等于下面语句
    Extend_Eculid(b, a%b, y, x);
    y = y - a/b*x;
}

通过以上推导可得到一组特解x0
\(ax_1+by_1 = ax_2+by_2\) ,同时除以Gcd(a,b)
\(a'(x_1-x_2) = b'(y_2-y_1)\)
除以Gcd(a,b)后 \(a' b'\) 互素
则\(x_1-x_2 = t\times b,y_2-y_1 = t\times a\)(t=...-2,-1,0,1,2...)
得通解 \(x = x_0+t\times b/ Gcd(a,b)\) (t=...-2,-1,0,1,2...)
y的解根据x可计算得出