机器人单关节力矩控制（前馈+反馈）

机器人单关节力矩控制

　　对于自由运动机器人来说，控制的目的是要控制机器人末端的位置和姿态（统一简称为位置），即所谓的位置控制问题。期望机器人末端达到的位置称为期望位置或期望轨迹，期望轨迹可以在机器人任务空间中给出，也可以通过逆运动学转化为机器人关节空间中的期望轨迹。期望轨迹通常有两种形式：一种是一个固定位置（setpoint），另一种是一条随时间连续变化的轨迹（trajectory）。

　　对于运动受限的机器人来说，其控制问题要复杂得多。由于机器人与环境接触，这时不仅要控制机器人末端位置，还要控制末端作用于环境的力。也就是说，不仅要使机器人末端达到期望值，还要使其作用于环境的力达到期望值。更广泛意义下的运动受限机器人还包括机器人协同工作的情况，这时控制还应包括各机器人间运动的协调，负荷的分配以及所共同夹持的负载所受内力的控制等复杂问题。

　　如下图所示，考虑单个电机与连杆的模型，其中

　　则系统的动力学方程为：

τ = M θ ¨ + m g r cos θ

τ = M θ ¨ + m g r cos θ + b θ ˙

　　可将其改写为：

τ = M θ ¨ + h (θ, θ ˙)

　　为进行仿真，设参数

PID控制

　　PID控制器时是最常用的反馈控制器。

τ = K p θ e + K i \int θ e (t) d t + K d θ e ˙

　　其中比例系数

PD控制器与误差的二阶方程

　　忽略积分项，即

M θ e ¨ + (b + K d) θ e ˙ + K p θ e = 0

　　将其改写为标准二阶形式：

θ e ¨ + b + K d M θ e ˙ + K p M θ e = 0 \to θ e ¨ + 2 ξ

　　阻尼比

PID控制器与误差的三阶方程

　　考虑连杆在垂直水平面的平面上转动（g>0），用上面的PD控制器，误差动力学方程可写为：

M θ e ¨ + (b + K d) θ e ˙ + K p θ e = m g r cos θ

　　这意味着稳态时

　　设

　　稳态误差可求解方程

　　可以在VREP中仿真该过程，新建一个长度为0.2m的圆柱体，质量设为1kg，在圆柱体一段添加旋转关节，圆柱体X、Y轴的转动惯量设为0.49(根据转动惯量的平行轴定理，绕关节转动的转动惯量为0.5)。关节设为力矩模式，打开关节动力学属性对话框，设置PID参数和目标位置（90°）：

　　选择ODE物理引擎进行仿真，打开圆柱体动力学属性对话框，点击编辑材料（Edit material），在Angular damping中输入0.1（Angular damping：an angular movement damping value, that adds angular drag, and that can increase stability）。给关节添加阻力可参考Set internal friction of joints和Material properties。

　　添加Graph记录关节转角进行仿真，可以看出存在稳态误差：

　　为了消除稳态误差，设

M θ (3) e + (b + K d) θ e ¨ + K p θ e ˙ + K i θ e =

　　如果

s 3 + b + K d M s 2 + K p M s + K i M = 0

　　如果该特征方程根的实部全为负，则该系统稳定，且

K d K p ( b + K d ) K p M > K i > - b > 0 > 0

　　因此

　　PID控制的伪代码如下：

time = 0                          // dt = servo cycle time
eint = 0                          // error integral
qprev = senseAngle                // initial joint angle q

loop
    [qd,qdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
   
    q = senseAngle                // sense actual joint angle
    qdot = (q - qprev)/dt         // simple velocity calculation
    qprev = q
   
    e = qd - q
    edot = qdotd - qdot
    eint = eint + e*dt
   
    tau = Kp*e + Kd*edot + Ki*eint
    commandTorque(tau)
   
    time = time + dt
end loop

　　使用之前建立好的VREP模型，设置积分系数

　　可以看出添加积分项后稳态误差消除（但是产生了超调量）：

　　实际上在许多机器人控制器中设

前馈控制（Feedforward Control）

　　PID控制不考虑机器人的动力学特性，只按照偏差进行负反馈控制，即只有在得到误差信号后才能输出控制量。另一种控制策略是根据机器人动力学模型预先产生控制力/力矩。动力学模型为：

τ = M ˜ (θ) θ ¨ + h ˜ (θ, θ ˙)

　　根据轨迹生成器输出的期望位置

τ (t) = M ˜ (θ d (t)) θ d ¨ (t) + h ˜ (θ d (t), θ

　　前馈控制伪代码如下：

time = 0                                           // dt = servo cycle time
loop
    [qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time)         // trajectory generator
    tau = Mtilde(qd)*qdotdotd + htilde(qd,qdotd)   // calculate dynamics
    commandTorque(tau)
    time = time + dt
end loop

　　如果动力学模型完全准确，那么用前馈控制即可直接计算力矩。但实际上模型总是存在各种误差，因此前馈控制一般总是与反馈控制结合起来使用。比如下面这个例子，如果

　　可以看出模型存在误差的情况下，根据动力学方程计算力矩而得到的结果与期望值之间存在偏差。对于任务2重力会阻碍期望的运动，导致产生较大的跟踪误差。

　　对任务2，在MATLAB/Simulink中进行仿真也可以得到同样的结果：

　　其中arm dynamics子模块根据输入的力矩计算并输出角度或角速度：

　　期望角度轨迹（蓝线）与根据不准确的动力学模型计算的实际轨迹（橙线）如下图所示：

前馈-反馈控制（feedforward and feedback control）

　　前馈控制是一种预测控制，通过对系统当前工作状态的了解，预测出下一阶段系统的运行状况。前馈的缺点是在使用时需要对系统有精确的了解，只有了解了系统模型才能有针对性的给出预测补偿。但在实际工程中并不是所有的对象都是可得到精确模型的，而且很多控制对象在运行的同时自身的结构也在发生变化。所以仅用前馈并不能达到良好的控制品质。这时就需要加入反馈，反馈的特点是根据偏差来决定控制输入，不管对象的模型如何，只要有偏差就根据偏差进行纠正，可以有效的消除稳态误差。

　　前馈-反馈综合控制结合二者的优点，可以提高系统响应速度。从前馈控制角度看，由于增加了反馈控制，降低了对前馈控制模型精度的要求；从反馈控制角度看，前馈控制作用对主要干扰及时进行粗调，大大减少反馈控制的负担。

　　结合前馈与反馈，实际角加速度

θ ¨ = θ d ¨ + K p θ e + K d θ e ˙ + K i \int θ e (t) d t

　　将其带入动力学预测方程中可得到前馈-反馈控制器：

τ = M ˜ (θ) (θ d ¨ + K p θ e + K i \int θ e (t) d t

　　前馈-反馈控制器的结构如下图所示，通常

　　前馈-反馈控制的伪代码如下：

time = 0                                   // dt = cycle time
eint = 0                                   // error integral
qprev = senseAngle                         // initial joint angle q
loop
    [qd,qdotd,qdotdotd] = trajectory(time) // from trajectory generator
    
    q = senseAngle                         // sense actual joint angle
    qdot = (q - qprev)/dt                  // simple velocity calculation
    qprev = q
    
    e = qd - q
    edot = qdotd - qdot
    eint = eint + e*dt
   
    tau = Mtilde(q)*(qdotdotd+Kp*e+Kd*edot+Ki*eint) + htilde(q,qdot)
    commandTorque(tau)
    
    time = time + dt
end loop

　　单独使用PID控制的Simulink模型如下图所示(参数与任务2中一样)：