b_51_整数划分的方案数（dp+等差数列求和公式推出限制）

将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式

思路：状态表示还是比较难想到的，f[i][j]表示用j个数字凑成数字i的方案数
f[i][j]+=f[i-j][j]+f[i-j][j-1]，为了不重不漏

• f[i-j][j]表示用j个数凑成数字i-j，第j个数字填1的方案数（j≤i）
• f[i-j][j-1]表示用j-1个数凑成数字i-j，第j个数字填j的方案数（j≤i）

f[n][j]=1（j∈[1,m]），m的范围怎么求？数字n在组成数字为1,2,3,n等差数列的情况下数字个数最多（全1除外)，假设有 n(n-1)/2≤50000，n为最大为316.2277....也就是有316个数字，m设为350即可

1+2+...+n=n(n+1)/2
1+2+...+n-1=(n-1)n/2

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
class Solution {
    void init() {
        Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        int n=sc.nextInt(), mod=(int)1e9+7, m=350, f[][]=new int[n+5][m+5];
        for (int i=1; i<=n; i++) f[i][1]=1;
        for (int i=2; i<=n; i++)
        for (int j=1; j*(j+1)/2<=i; j++) {
            f[i][j]=(f[i-j][j]+f[i-j][j-1])%mod;
        }
        int ans=0;
        for (int j=1; j<m; j++) 
            ans=(ans+f[n][j])%mod;
        System.out.println(ans);
    }
}
public class Main{
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}