【区间dp】B000_AW_金字塔（找到下一个相同的字母，则这一段都是一棵子树的dfs序）

一、金字塔

虽然探索金字塔是极其老套的剧情，但是有一队探险家还是到了某金字塔脚下。
经过多年的研究，科学家对这座金字塔的内部结构已经有所了解。
首先，金字塔由若干房间组成，房间之间连有通道。
如果把房间看作节点，通道看作边的话，整个金字塔呈现一个有根树结构，节点的子树之间有序，金字塔有唯一的一个入口通向树根。
并且，每个房间的墙壁都涂有若干种颜色的一种。
探险队员打算进一步了解金字塔的结构，为此，他们使用了一种特殊设计的机器人。
这种机器人会从入口进入金字塔，之后对金字塔进行深度优先遍历。
机器人每进入一个房间（无论是第一次进入还是返回），都会记录这个房间的颜色。
最后，机器人会从入口退出金字塔。
显然，机器人会访问每个房间至少一次，并且穿越每条通道恰好两次（两个方向各一次）， 然后，机器人会得到一个颜色序列。
但是，探险队员发现这个颜色序列并不能唯一确定金字塔的结构。
现在他们想请你帮助他们计算，对于一个给定的颜色序列，有多少种可能的结构会得到这个序列。
因为结果可能会非常大，你只需要输出答案对109 取模之后的值。

输入格式
输入仅一行，包含一个字符串S，长度不超过300，表示机器人得到的颜色序列。
输出格式
输出一个整数表示答案。

输入样例：
ABABABA
输出样例：
5

方法一：dp

因为以某个结点 x 为根的子树dfs结束后一定会回到出发点 x，故只有像 A.xxx.A 这种结尾和开头字符都相同序列才可以成为dfs序列，我们要枚举的就是这种序列

• 定义状态：
  • f[i][j] 表示dfs序 s[i:j] 可以得出的具体方案数
• 思考初始化：
  • f[...][...]=0
• 思考状态转移方程：
  • f[i][j] += f[i][k]*f[k+1][j]，if (s[i]=s[k]，i∈[l+2, r])，因为一个dfs序列的长度必定≥3
• 思考输出：f[0][n-1]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9, N=305;
string s;
ll f[N][N];

ll dfs(int l, int r) {
    if (l>r)  return 0;
    if (l==r) return 1;
    if (f[l][r]!=-1) return f[l][r];
    ll ans=0;
    for (int i=l+2; i<=r; i++) if (s[l]==s[i]) {
        ans=(ans+dfs(l+1,i-1)*dfs(i, r))%mod;
    }
    return f[l][r]=ans;
}   
int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>s; memset(f, -1, sizeof f);
    cout << dfs(0, s.size()-1);
    return 0;
}

复杂度分析

• Time：\(O(n^3)\)，
• Space：\(O(n^2)\)

二、加分二叉树

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：     
subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数 
输出格式
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。     
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=35;
ll n, A[N], f[N][N], rt[N][N];

ll dfs(int l, int r) {
    if (l>r) return 1;
    if (f[l][r]) return f[l][r];
    ll t=0;
    for (int i=l; i<=r; i++) {
        int ans=A[i]+dfs(l,i-1)*dfs(i+1,r);
        if (ans>t) {
            rt[l][r]=i, t=ans;
        }
    } 
    return f[l][r]=t;
}

void get(int l, int r) {
    if (l>r) return;
    int root=rt[l][r];
    cout << root << ' ';
    get(l,root-1);
    get(root+1,r);
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>n; for (int i=1; i<=n; i++) cin>>A[i], f[i][i]=A[i], rt[i][i]=i;
    cout << dfs(1, n) << '\n';  
    get(1,n);
    return 0;
}