0016：单源最短路径（dijkstra算法）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4779

题目描述：给定一个 n 个点，m 条有向边的带非负权图，计算从 s 出发，到每个点的距离。

 

 

 

 

这道题就是一个单源最短路径的模板，有两种做法：

1.Floyd算法

暴力枚举出所有起点、终点以及中间值，然后算出每两个点间的最小值。

但这个算法时间复杂度较高，是O（n^3），很容易爆掉，在这道题甚至拿不到分。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[10000][10000];
int main(){
    int n,m,s,i,j,k,a,b,c;
    cin>>n>>m>>s;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(i==j){
                arr[i][j]=0;
            }else{
                arr[i][j]=99999999;
            }
        }
    }
    while(m--){
        cin>>a>>b>>c;
        arr[a][b]=min(c,arr[a][b]);
    }
    for(k=1;k<=n;k++){
        for(i=1;i<=n;i++){
            if(i==k||arr[i][k]==99999999){
                continue;
            }
            for(j=1;j<=n;j++){
                arr[i][j]=min(arr[i][j],arr[i][k]+arr[k][j]);
            }    
        }
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        cout<<arr[s][i]<<" ";    
    }
}

 

 这道题我们要用一种更高级的算法——

2.dijkstra算法

在无负权边的情况下，时间复杂度为 O（n log n）基本可以顺利通过所有模板题。

先确定初始点到其他所有点的路径（可能为无穷），然后从和该点距离最小点开始遍历，不断更新这些点与初始点的最小距离（学术名叫松弛），最后求出初始点与所有其他点的最短路。

然后要通过此题，还需要前向星存边和优先队列（堆）优化，可能比较难理解，自己画图模拟即可。

上代码（有注释）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long vis[100001]={0},head[100001],dis[100001],cnt,n,m,s,a,b,c;
long long INF=2147483647;//2的31次方，可以看做无穷 
struct Q{
    int a,b,c,next;
};//邻接表，在有向图中存储起点、终点权值，next用来前向星存边 
struct node{//放进优先队列中的结构体 
    int w,now;//w为最短路，now为点 
    bool operator <(const node &x)const{
        return w>x.w;//权值从大到小排 
    }
};
priority_queue<node> q;//优先队列 
Q e[500001];
void add(int a,int b,int c){//前向星存边 
    e[cnt++].a=a;
    e[cnt].b=b;
    e[cnt].c=c;
    e[cnt].next=head[a];//next存储上一个cnt值，方便for循环从后往前遍历边 
    head[a]=cnt;
} 
void dijkstra(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dis[i]=INF;
    }
    dis[s]=0;
    q.push((node){0,s});//将起点压入队列 
    while(!q.empty()){//队列非空 
        node x=q.top();//弹出堆顶（最小）元素 
        q.pop();
        int u=x.now;
        if(vis[u]==1){
            continue;//遍历完无需再遍历 
        }
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=e[i].next){//用前向星遍历 
            int v=e[i].b; 
            dis[v]=min(dis[v],dis[u]+e[i].c);//松弛操作 
            q.push((node){dis[v],v});
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=0;i<m;i++){
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    dijkstra(); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cout<<dis[i]<<" ";
    }
}