Serre算术教程Chapter 4笔记

考虑在交换环上的模\(V\)

Definition of module
相当于向量空间的扩展形式，不要求在域上面定义.
module包含一个交换群\((M,+)\)向量
以及\(\cdot:R\times M\rightarrow M\)标量乘法.
满足：结合律，分配律和\(1_R\cdot x=x\)

定义一个函数\(Q:V\rightarrow A\)称为二次型iff.

\[Q(a\cdot x)=a^{2}\cdot Q(x) \]

\[(x,y)\mapsto Q(x+y)-Q(x)-q(y)\text{ is a bilinear form} \]

Such a pair \((V,Q)\)被称为一个quadratic module. 本章中我们不妨假定\(A\)是一个characteristic\(\neq 2\)的 field \(k\)（characteristic\(\neq 2\)的话相当于避免\(x+(-x)=0\)?在这里的话具体来说其实是考虑到\(2ab=0\)的时候，需要\(a=0\) or \(b=0\)，如果Char\(k=2\)的话就有问题）这个时候我们其实\(A\)-module \(V\)其实就是一个\(k\)-verctor space，以这个\(k\)作为field. 同时我们不妨假定维度是finite的

无限维二次型？

考虑

\[x.y=\frac{1}{2}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)] \]

这个式子在characteristic of \(k\neq 2\)的情况下有意义. 否则因为\(2=0\)这个式子显然就炸了.
这里\(x.y\)是一个symmetric bilinear form on \(V\). 称为scaler product associated with \(Q\).就是一个类似于点积的形式. 另外显然有\(Q(x)=x.x\)。 这相当于通过二次型在symmetric bilinear form之间建立了联系，从定义上是二次型\(\rightarrow\)对称双线性型；这里是对称双线性型\(\rightarrow\)二次型.

quadratic form的矩阵形式

大家都会，考虑在某个basis of \(V\) \((e_{i})_{1\leq i\leq n}\)下面写\(x=\sum\limits x_{i}e_{i}\)，matrix of \(Q\) with respect to this basis 是\(A=(a_{ij})\) where \(a_{ij}=e_{i}.e_{j}\)，写成\(Q(x)=\sum\limits_{i,j}a_{ij}x_{i}x_{j}\)这样的形式（或者说我们本身就是想着这个形式往上拓展的）
考虑换basis，这个也好说：\(X.A.X'\). 然后新的determinant就是

\[\det(A')=\det(A).\det(X)^2 \]

这时候\(\det(A)\) is determined up to multiplication by an element of \({k^*}^2\)(suqare of k-star，非零的\(k\)元的平方的这个field). 另外\(\det(A)\)称作discriminant of \(Q\) or \(\mathrm{disc}(Q)\) 判别式. 实际上\(\det(A)\)相当于对\({k^{*}}^2\)做陪集的等价类.
考虑\(x,y\in V\)称为正交if \(x.y=0\).记正交于某个subset \(H\) of \(V\)的集合为\(H^{0}\)，这个集合也是vector subspace of \(V\)（考虑\(x.y\)是bilinear）. \(V_1\)和\(V_2\)正交if \(V_{1\subset}V_2^0\). i.e. \(x\in V_{1},y\in V_{2}\) implies \(x.y=0\).
考虑\(V\)本身的\(V^0\)称为正交补，denoted by \(\mathrm{rad}(V)\). 其的codimension

Definition of codimension
考虑\(W\)是\(V\)的subspace，那么codimension of \(W\)就是\(V/W\)商空间的维数，余维数
\(\mathrm{codim}(W)=\dim(V/W)=\dim(V)-\dim(W)\)

被称为rank of \(Q\). 应该也是想说\(A\)的rank？ 如果\(V^0=0\) ，称为nondegenerate，那么也就是说\(x.y=0\)只有trivial的解，从意义上看就是\(Q\)的判别式非\(0\). （可以看做是\(k^{*}/{k^{*}}^{2}\)这个商群的元素）
考虑\(V\)的vector subspace \(U\)，然后考虑其dual \(U^*\)

Dual space的定义
在vector space上的dual space就是这个vector space上线性函数的集合

Let \(q_U:V\rightarrow U^*\)表示关于某个\(x\)的linear form（\(y\in U\mapsto x.y\)）相当于从某个向量到这个向量和别人点积的这个函数，在vector space上相当于一个投影. The kernel of \(q_U\) 是\(U^0\). 然后\(Q\) is nondegenerate \(\iff\) \(q_V:V\rightarrow V^*\)是一个isomorphism.

考虑\(V\)的一堆vector subspace \(U_{i}\)，假如\(U_{i}\) pairwise orthogonal且\(V\)是\(U_{i}\)直和，那么\(V\) is the orthogonal direct sum of the \(U_{i}\).写作

\[V=U_1\hat{\oplus} \dots\hat\oplus U_{m} \]

设\(x\in V\)对\(U_{i}\)可以作分解\(x_{i}\in U_{i}\)，

\[Q(x)=Q_{1}(x_{1})+\dots+Q_m(x_m) \]

这里\(Q_i\)表示\(Q\vert U_i\)，表示\(Q\)但是定义域限于\(U_i\). 反过来看我们也可以从\(V_i\)的直和里面从\(Q_i\)导出\(Q\)的值.

Prop 1.如果\(U\)是\(\mathrm{rad}(V)\)在\(V\)中的supplementary subspace，那么\(V=U\hat\oplus\mathrm{rad}(V)\).

\(U\)和\(\mathrm{rad}(V)\)是正交的，supplementary subspace意思就是这俩直和是\(V\)，所以显然.

Prop 2.考虑一组nondegenerate的\((V,Q)\)，那么：

• 从\(V\)到quadratic module\((V',Q')\)的所有metric morphism（保持度量结构不变？）都是单射：因为是metric morphism所以考虑形如\(f(x-y)\)这样的东西，因为nondegenerate所以\(f(x-y)=0\Rightarrow x-y=0\).
• 对所有vector subspace \(U\) of \(V\)有

\[U^{00}=U,\dim U+\dim U^0 = \dim V,\mathrm{rad}(U)=\mathrm{rad}(U^0)=U\cap U^0 \]

第一条大概就是考虑到\(U\)和\(U^0\)的正交.

• 如果\(V\)是两个subspace的正交直和，（这两个subspaces）是nondegenerate的且正交.
  书上的说明：
  假如\(f:V\rightarrow V'\)是个metric morphism，如果\(f(x)=0\)那么\(x.y=f(x).f(y)=0\) for all \(y\in V\).因为\((V,Q)\)是nondegenerate那么\(x=0\). 这可以用来证明第一条性质.

如果\(U\)是\(V\)的vector subspace，那么homomorphism \(q_U:V\rightarrow U^*\)是surjective的. explain: 实际上这个其实是\(V\rightarrow V^*\rightarrow U^*\)这样. 前面是\(q_V\)，后面是canonical surjection，考虑按照设定\(q_V\)是bijective的（\(\Leftarrow\) \((V,Q)\)是nondegenerate的）因此我们有exact sequence（短正合列，前面是单射后面是满射）

\[0\rightarrow U^0\rightarrow V\rightarrow U^*\rightarrow 0 \]

那么\(\dim(V)=\dim(U^0)+\dim(\mathrm{Im}(V\rightarrow U^*))=\dim(U^0)+\dim(U^*)\).
左边这个是为什么呢？是因为\(\dim(V)=\dim(\ker(V\rightarrow U^*))+\dim(\mathrm{Im}(V\rightarrow U^*))\).然后左边这个因为exact sequence的性质这个kernel就是上一个映射的image，因为是单射所以等于\(U^0\)的dimension，右边这个因为满射所以等于\(U^*\)的dimension，然后因为对偶空间的性质在vector space下就等于\(U\)自己的维数. 这个前面提到过这个定理了.
这同时也告诉我们\(U\)和\(U^{00}\)有这同样的dimension，因为这两个有同样的\(U^0\)和他们正交. 另外因为\(U\)显然是\(U^{00}\)的子集，所以\(U=U^{00}\).

Isotropic vectors

element \(x\) of a quadratic module \((V,Q)\) if \(Q(x)=0\). 一个\(V\)的subspace \(U\)是isotropic if 它所有元素都是isotropic的.
\(U\) isotropic \(\iff\) \(U\subset U^0\)\(\iff\)\(Q|U=0\)

• 一个hyperbolic plane, if 一个quadratic module，有一个isotropic的二维基s.t. \(x.y\neq 0\).
  双曲面？考虑\((x,y,Q([x,y]))\)这样的. 大概就是指虚轴上面的？这个hyperbolic plane形式类似于\(xy\)这样. 我感觉两个isotropic的形式大概可以看做是
  Prop3.

Hilbert Symbol
\((a,b)=1\) if \(ax^2+by^2=z^2\) has a solution \((x,y,z)\neq(0,0,0)\) in \(k^3\)
\((a,b)=-1\) otherwise
考虑本质上其实是一个\((k^*/{k^*}^2)\times (k^*/{k^*}^2)\rightarrow\{\pm 1\}\)
第一个不变量是determinant
第二个不变量是

\[\epsilon(e)=\prod_{i<j}(a_i,a_j) \]

这里\(a_i\)是在某个正交基下面的.
Theorem 这是不变量.
\(n=1\)下设定为\(1\)
\(n=2\)下是\(1\)仅当\(Z^2-a_1X^2-a_2Y^2\)是可以是\(0\)的时候，(p.34 Prop3'-Corollary 1.)告诉我们这个时候这个等价于\(a_1X^2+a_2Y^2\)可以表示\(1\). 而这一个条件相当于说存在\(v\in V\)满足\(Q(v)=1\)，这和什么基无关.
\(n\geq 3\)的情况下使用数学归纳. By Th.2 （两个正交基之间存在一条contiguous的置换序列，相邻都是contiguous）只需要证明当\(e\)和\(e'\)是contiguous的时候\(\epsilon(e)=\epsilon(e')\). 不妨假定\(e_1'=e_1\)，所以\(a_1'=a_1\).
用数学归纳法把变化的部分（\(e_2\dots e_n\)）变掉.
这里对\(e_1\)部分的变式其实是Hilbert Symbol的proposition2. v)
? 判断正定负定什么的

2.2

以下\(k\)是\(p\)-adic field \(Q_p\).
Lemma

• 在\(F_2\)里面做这个\(k^*/{k^*}^2\) 元素个数是\(2^r\)，\(r=2\) if \(p\neq 2\), \(r=3\) if \(p=2\)
  chap. II n 3.3
• \(H_a^\epsilon\) ： \((x,a)=\epsilon\), where \(\epsilon=\pm 1\).
  • \(a=1\): \(H_a^1\)有\(2^r\)元素，\(H_a^{-1}=\emptyset\): 显然，意思就是全是
  • \(a\neq 1\), \(H_a^\epsilon\) 有\(2^{r-1}\)元素: 刚好两个各自分一半.
• 考虑非空的\(H_a^\epsilon\)和\(H_{a'}^{\epsilon'}\) 当且仅当\(a=a'\)且\(\epsilon=-\epsilon\)时，两个集合不交.
  b)c)相对应吧就是，剩下的是trivial的

Th6.
考虑一个rank n的二次型，然后\(d\)和\(\epsilon\)
\(f\) to represent \(0\) \(\iff\)
i) \(n=2\), \(d=-1\)
ii) \(n=3\),\((-1,-d)=\epsilon\)
iii) \(n=4\)
iv) \(n\geq 5\)