「学习笔记」初等数论
前言
前置知识(这个应该很显然):
线性筛素数
点击查看代码
不等式方程(exgcd)
形如
欧几里得算法:
当
递归函数
点击查看代码
裴蜀定理
(写于 2023.4.14)这个是后补的。QWQ
定义
设
然后就发现前面的式子求的就是裴蜀定理的式子。
然后写一个我自己发现的东西:(只不过我看过的文章都没讲过,可能是因为为太简单了)
求
首先求出
再设
然后就没了。QWQ
进一步的结论可以去下面的链接。
同余
概念
对两个整数
一个小知识
(
欧拉函数
定义
欧拉函数
特别的,
顺便提一嘴,
显然, 对于一个正整数
性质
积性:如果对于任意两个正整数
,如果 (即 ), 。 欧拉反演:
。( 表示把 以内所有能整除 的数 带入 中求和) 性质三:对于任意质数
, 。
性质三证明:小于等于 显然,
计算欧拉函数
单个欧拉函数:设 显然,
在代码实现中有一个更简单的式子:
代码:
点击查看代码
线性筛欧拉函数
在线性筛素数的同时可以筛出欧拉函数,设
-
为质数, 。 -
是 的质因子, 。 -
与 互质, 。
证明:
-
显然 -
设
,其中 不含质因子 。则 -
根据积性可得。
假如 C君
在仪仗队的左前方,坐标为
首先可以发现,对于一个坐标 C君
能看到这个位置当且仅当 C君
位置相交的对角线左右两边能看到的位置对称。
用线性筛欧拉函数即可,记得当
代码:
点击查看代码
2023.10.9
发现一个可能有用的等式:
欧拉定理
对任意正整数
逆元
逆元补充 (by 2023.5.11)
定义
对于任意正整数
为了方便理解,我就先把下文中所有的字母下面带
性质(这些记住就行QWQ)
逆元存在性定理:
在模 同余下存在逆元当且仅当 。 推论:当且仅当模数
是质数时, 内所有整数都存在模 下的逆元。 没有逆元。 逆元唯一性定理:模
同余下,一个整数 的逆元若存在,则唯一。 定理:在模质数
同余下, 内所有整数的逆元互不相同。 定理:一个数的逆元的逆元等于它自身。
计算逆元
先上例题。
根据逆元定义可得这是一道求逆元板子题(显然)。
因为题目说输入数据保证一定有解,根据逆元存在性定理可得
开始求逆元喽。
(由于
然后可以发现,这不就是一个不定方程吗。(因为
在前面我们知道
最后记得把
代码如下。
点击查看代码
当然也可以像下面这样写。
点击查看代码
补充
写于 2023.5.25
由于扩展中国剩余定理中有一些比较难懂的东西,结果发现是前面学的有问题,所以在这里来个补充。
先看一道题。(这是我自己出的QWQ)
解
按上面的思路可得
由裴蜀定理可得,如果
设
用 exgcd 可求
即
这说明
设
则
所以
这蕴含
因为
所以
即
而相差
即取
其实学完扩展中国剩余定理再回来看可以感觉到其实
好像很显然的样子QWQ。
欧拉定理的继续
欧拉定理有一个前提条件就是
然后我们就得到了另一个求逆元的方法。(虽然不是很好用)
但是当 于是费马小定理出现了。
费马小定理
对任意整数
根据式子可以推出:
然后我们就又双叒叕得到了一个求逆元的方法(用快速幂求一下
上个题QWQ P2613 【模板】有理数取余
求
让我们算一算吧。
所以我们只需算出
而无解的情况就是
直接上代码。
点击查看代码
线性求逆元
设
边界为
又要开始推式子了。
再解释一下,我们刚开始设 显然,
下面是代码。
点击查看代码
说句闲话,我刚开始做这道题时一直 endl
改为 '\n'
就 endl
。
首先知道:
显然:
之后就把 不然打一个九位数太麻烦了。
然后求 显然:
所以先线性求一遍逆元,然后预处理出所有阶乘的逆元即可。
上代码。
点击查看代码
威尔逊定理
(on 2023.7.11)
定理
若
证明
当
取一个大于
(
再在两边同时乘上
证毕。
它的逆定理为:
正整数
是质数的充要条件为:
威尔逊定理用的很少,不过扩展卢卡斯定理可能要用。
中国剩余定理(CRT)
它是用来解决一个问题的。
问题
给定
其中保证
定理
上面的方程组有解,且按如下方式构造:
记
, , 为 在模 同余下的逆元。
则方程组的唯一通解是:
证明
显然:
且,
(能够保证
另外,对于一个
这就验证了
运用小学知识(其实就是我懒得证明)可得每两组相邻特解之间相差为
例题
模板题,直接上代码。
点击查看代码
然后套模板即可。
拓展中国剩余定理
等我学完再写。QWQ
终于学完力。QWQ(on 2023.5.23)
求
首先拿出前两个方程。
可变为
(
所以
可变为
(这里 exgcd
求逆元中
设
就可以用 exgcd
求出
话说这个不应该看不懂吧QWQ
当然如果题目中不保证一定有解到话判断
求出
从而得到一组通解。
(
将
所以
之后继续合并即可。
点击查看代码
再来解释一下,其实
(
把新的
由于题目中要求的是最小非负整数解,所以在代码中要将变量变为正整数。
容斥原理
关于集合的概念看 这里。
说句闲话,我开始了解集合也是开始于上面的链接。
我们有
如果我们有
二项式定理
(写于 2023.4.29)
这个主要说的就是
Lucas定理
定义
对于一个质数
证明我暂时不会,先放个链接QWQ。
但是现在会了。QWQ(by 2023.7.11)
证明
在证明之前,要证明一个式子。
(其中
证明这个式子
首先知道
对于
所以我们可以得出:
证毕。
现在开始正式证明卢卡斯定理。
先设
那就有:
对于任意一个整数
当上面的式子左面的
则:
两边同乘
即:
证毕。
当
exLucas 定理之后再学。QWQ
例题
模板题。听君一席话,如听一席话。
直接上代码。
点击查看代码
莫比乌斯反演
其他
这里是其他的一些数论题的题解(算是吧)。
(写于 2023.5.23)
很有意思的一道题。
首先我看到这道题后思考如何由
那么:
思考从
可以发现,只有
所以总共增加的值为
所以
而且 显然)
点击查看代码
on 2023.8.12。
就是求
点击查看代码
__EOF__

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