关于复变函数积分--原函数法

1.

 log(z),   z^(1/n)  等都是多值函数，这里所谓的多值，表现不是theta+2pi后对应复平面上的一个点，而是对应复平面上的多个点--（考虑:比分开方操作与取对数操作)

采用分割支让其变成单值函数， 分割支的范围是 （r>0,  a<theta<a+2pi  ) 在分割支上的点都是奇点。

函数在分割支上不存在导数。

43节，3,4两题分别展示了，原函数存在分割支与围道交点问题以及被积函数存在分割支与围道交点问题。

被积函数在分割支线上没有定义，因此就不会有原函数。

2.

定义   z^(1/2)= sqrt(r) e^(i theta/2)    （r>0,   -pi<theta<pi) 意味着 自变量z  (由后面的 r, theta 体现)，可以取整个平面（但只是theta转一圈的范围）

由定义可以看出，这样限制theta后，每一个(r,theta)组合--自变量都唯一对应一个 z--指函数值 ,注意多个自变量(r,theta)可以对应一个z

比方  z^(3/2)=r^(3/2)  e^(i  3*theta/2) (r>0, -pi<theta<pi) 中 在theta取 -3 * pi/4 与 7 pi/12 其结果对应的是复平面上的同一个点。

另一方面如果 theta =  theta + 2k *pi   (k=0,+-1,+-2....)  那么z^(1/2)的定义是  +- sqrt(r) e^( i  (theta +2k*pi)/2)  在不限制k的情况下有2个不同的取值。

所以分割支实际上是限制了上面的k取值，即k一定的情况下 自变量取一个平面(  a<theta<a+2pi) 的情况下(r,theta)的组合代入函数定义后(当然采用,r,theta定义时）

其值明显是一个。

 3.

基于上面的认识，原函数与其导数或被积分函数，应该在定义域上保持一致，另一方面参数化的围道其参数变量如theta应该在这个定义域内取。

而不应该取那先围道与支割线有交点的参数化定义域。