证明解析函数u=c1 与 v=c2 正交

方程u(x,y)=c1对应平面上的曲线， 求导dy/dx=  -ux/uy   类似有v曲线的dy/dx=-vx/vy   两者相乘，使用柯西-黎曼方程结果是-1

表示在相交点两者的切线互相垂直。

 

另外u(x,y)=c1 可以看成2元函数 u=f(x,y)  的等高线--参考微积分11.5 节 grad(u) 是 u的梯度（是一个向量  xi + yj)

grad(u)=  ux i + uy j   grad(v)= vx i +  vy  j            ,注意两函数在该的切向量正交等价于法向量正交。

grad(u) 点乘  grand(v)    =0    （使用柯西-黎曼方程） 可知两曲线族正交。

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补充

注意知道法向量 xi + yj 后可以方便的 转化成正交切向量  -xi  + yj   或者 xi - yj ,  

垂直于  A i+ Bj  并且过(x0,y0)的直线方程可表示成

 

(x-x0) A + (y-y0) B=0  ,正交，如果求平行于Ai + Bj 并且过(x0,y0)的直线方程

等价于垂直于 Ai - Bj 或（-Ai + Bj) 过点(x0,y0)的直线方程。

即 (x-x0) A - B(y-y0)=0

三维空间中过一点(x0,y0,z0)垂直于向量 Ai+Bj+Ck 的方程表示的是平面

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0