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n维向量空间W中有子空间U,V,如果dim(U)=r dim(V)=n-r U交V !={0},那么U,V的任意2组基向量的组合必定线性相关

如题取U交V中的向量p (p!=0), 那么p可以由 U中的某一组基线性组合成(系数不全是零),同时,-p也可以由V中的某一组基线性组合成(系数不全为零)

考察p+(-p)=0 可知道,U中的这组基跟V中的这组基在系数不全是零的情况下组合成了0向量,故这2组基必定线性相关

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注意,p是U交V的元素,那么-p也是U交V的元素,因为U交V也是W的子空间,对标量乘封闭.

证明:取 U交V元素 x,  那么ax属于 U ,也属于V所以 ax属于U交V

          类似取x,y  ,那么 x+y 属于U ,也属于V 所以x+y属于U交V

 

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