反函数的导数

谈谈反函数的求导法则

韦磊 2011-10-04 22:10:11

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊：
y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！
出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3（这里应该是y=x^3反函数的导数，x=y^(1/3),dx/dy=1/3 * y^(-2/3)），只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此：
y=x1/3的导函数应该这样求 y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)，
=1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则
所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。
例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以： y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。
同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。
相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

结论:反函数与原函数一起运算时，不要将反函数的y改写成x

原文链接：http://xuefuzi.com/post-319.html

参考证明：http://wenku.baidu.com/link?url=OqQYhhR-6M7k831zAOqV_lhSuFoJQFZw-f0Qz_hqj4_7UVLUaXzh6sqcsozYeMPbrgNHQOZGKlM__yVOWEHR9nAHE6EaYW8wHkW5Kd7EjO3