5.27
实验五：MATLAB最优化工具箱的使用
一、实验目的
通过一个农业生产计划优化安排的实例求解，培养学生解决实际线性规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用
通过一个投资组合优化问题的实例求解，培养学生解决实际二次规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。
二、实验内容
某村计划在100公顷的土地上种植a、b、c三种农作物。可以提供的劳力、粪肥和化肥等资源的数量，种植每公顷农作物所需这三种资源的数量，以及能够获得的利润如表所示。
种植投入产出表
|
|
用 工 |
粪肥（吨） |
化肥（千克） |
利润（元） |
|
a |
450 |
35 |
350 |
1500 |
|
b |
600 |
25 |
400 |
1200 |
|
c |
900 |
30 |
300 |
1800 |
|
可提供资源 |
63000 |
3300 |
33000 |
|
其中一个劳动力干一天为1个工。现在要求为该村制定一个农作物的种植计划，确定每种农作物的种植面积，使得总利润最大。
3、操作要点
（1）建立线性规划的数学模型；
（2）安装Matlab优化工具箱（Optimization Toolbox），并学习工具箱中求解线性规划的函数；
（3）利用Matlab优化工具箱解线性规划问题。
（4）运行该程序，在命令窗记录下最优解x和对应的最优值fval。
（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。
2、上机主要内容
求解从一点(0,0,0)到超平面的最短距离，
其中，，。
通过建模构造二次规划问题，求解以上问题的最优解和最优值。
3、操作要点
（1）建立二次规划的数学模型；
（2）安装Matlab优化工具箱（Optimization Toolbox），并学习工具箱中求解二次规划的函数；
（3）利用Matlab优化工具箱解二次规划问题。
（4）运行该程序，在命令窗记录下最优解x和对应的最优值fval。
（5）按照模板撰写实验报告，要求规范整洁。
三、算法步骤、代码、及结果
农业生产计划优化安排的实例：
1. 算法步骤
目标函数：
Maximize Z=1500x1+1200x2+1800x3
约束条件
- 土地使用约束： x1+x2+x3≤100x_1 + x_2 + x_3 \leq 100x1+x2+x3≤100
- 劳动力约束： 450x1+600x2+900x3≤63000450x_1 + 600x_2 + 900x_3 \leq 63000450x1+600x2+900x3≤63000
- 粪肥约束： 35x1+25x2+30x3≤330035x_1 + 25x_2 + 30x_3 \leq 330035x1+25x2+30x3≤3300
- 化肥约束： 350x1+400x2+300x3≤33000350x_1 + 400x_2 + 300x_3 \leq 33000350x1+400x2+300x3≤33000
- 非负约束： x1≥0,x2≥0,x3≥0x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, x_3 \geq 0x1≥0,x2≥0,x3≥0
2. 代码
% 定义目标函数系数
f = [-1500, -1200, -1800]; % 由于linprog求解的是最小化问题，我们对系数取负
% 定义不等式约束矩阵 A 和向量 b
A = [
1, 1, 1; % 土地使用约束
450, 600, 900; % 劳动力约束
35, 25, 30; % 粪肥约束
350, 400, 300 % 化肥约束
];
b = [100, 63000, 3300, 33000];
% 定义变量的下界和上界
lb = [0, 0, 0]; % 非负约束
ub = []; % 无上界
% 求解线性规划问题
[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);
% 显示最优解
disp('最优解 x:')
disp(x)
% 显示最优值
disp('最大总利润:')
disp(-fval) % 别忘了对结果取负以得到最大利润
3. 结果
找到最优解。
最优解 x:
60
0
40
最大总利润:
162000
投资组合优化问题的实例：
1. 算法步骤
目标函数（最小化欧几里得距离的平方）： Minimize f(x)=x1^2+x2^2+x3^2
约束条件（超平面方程）： 2x1+x2+x3=4
2. 代码
% 定义二次项系数矩阵 H 和线性项系数向量 f
H = 2 * eye(3); % H 是单位矩阵的 2 倍，因为目标函数是 x_1^2 + x_2^2 + x_3^2
f = [0; 0; 0]; % f 为零向量
% 定义等式约束矩阵 Aeq 和向量 beq
Aeq = [2, 1, 1]; % 超平面的系数
beq = 4; % 超平面的常数项
% 求解二次规划问题
[x, fval] = quadprog(H, f, [], [], Aeq, beq, [], []);
% 显示最优解
disp('最优解 x:')
disp(x)
% 显示最优值（最短距离的平方）
disp('最优值 fval (最短距离的平方):')
disp(fval)
% 最短距离是目标函数值的平方根
distance = sqrt(fval);
disp('最短距离:')
disp(distance)
3. 结果
找到满足约束的最小值。
优化已完成，因为目标函数沿
可行方向在最优性容差值的范围内呈现非递减，
并且在约束容差值范围内满足约束。
<停止条件详细信息>
最优解 x:
1.3333
0.6667
0.6667
最优值 fval (最短距离的平方):
2.6667
最短距离:
1.6330
四、心得体会
在这次实验中，我深入学习了如何应用线性规划和二次规划技术来解决实际问题，并通过使用 Matlab 的优化工具箱来实现这些优化问题的求解。通过对农业生产计划优化安排和从点到超平面最短距离的求解，我不仅巩固了数学建模的基础知识，还提升了在 Matlab 中进行实际问题求解的能力。
实验总结
工程数学是将数学原理和方法应用于工程问题的一门学科。它结合了数学理论与工程实践，帮助解决复杂的工程问题。在工程数学中，数学不仅仅是一个工具，它是理解和解决工程问题的核心手段。
从这这几次实验中，我深刻体会到工程数学的应用的广泛，对我们计算机专业的算法设计与分析提供了帮助；
通过这学期的学习和实验，我明白了工程数学作为工程学科的基础，不仅是理解和解决工程问题的重要工具，也是推动工程技术进步的关键动力。在现代工程中，掌握工程数学的理论和方法，是工程师和科学家应对复杂挑战、推动技术创新的重要能力。未来，随着科学技术的不断发展，工程数学将继续发挥其不可替代的作用，推动工程领域的新发展和新突破。
通过系统学习和应用工程数学，工程师能够更好地应对复杂的工程问题，优化设计和系统性能，提高工作效率，促进科技进步和社会发展。
