Stable Matching

场景
算法
算法证明

场景

有n个男的，n个女的，他们想要一一成对
而且他们各自都有对异性，根据他们想要和对方在一起的程度做排名
我们需要将他们一一配对，我们把最后的男女组合，叫做matching

假设matching S存在这样的一男M，一女W，他们虽然没有成对，他们都觉得，比起他们现在的伴侣，M更想和W在一起，W也更想和M在一起，那他们就会私奔，我们称为unstable pair。我们把这样的matching S叫做unstable matching

下面的例子中，X-C, Y-B, Z-A就是一个unstable matching，因为X-B会私奔

我们的目标就是找到一个stable matching

算法

一个情况下，可能有多种stable matching
以下的叫做Gale-Shapley Algorithm，能找到一个man-optimal, woman-pessimal的stable matching
也就是在找到的matching中，男人会尽量和自己更喜欢的女人匹配，女人会尽量和自己更不喜欢的男人匹配

Gale-Shapley算法是 $O(n^2)$ 的复杂度

算法证明

stable-matching

一定不会出现一男一女各自落空，没有对象的情况
在Gale-Shapley中，女的第一次被求婚就会接受，此后只会找到更好的伴侣，而不会变成单身。女的最后落空只会是因为没有被求婚过
而男的在最差情况下，会对所有女生求婚，如果找到单身的女生，那么就会成对
不可能出现一男一女各自落空的情况

不会存在unstable的配对
假设Gale-Shapley Matching中存在一男M，一女W，他们是unstable pair
那么M一定会先向W求婚，再向当前的伴侣求婚，而且被W拒绝了
W拒绝M的原因一定是，已经有了比M更好的伴侣，所以M和W不会是unstable pair

man-optimal

反证法
假设在同一个场景下
Gale-Shapley Algorithm找出的matching为A，A不是man-optimal matching
存在一个stable matching为B，B是man-optimal matching

如果B是man-optimal，而A不是，那么B中至少一个有一个男的获得了更好的伴侣。
假设在A中， $m_0$ 是在整个求婚过程中最先被拒绝的男人，拒绝他的女人是 $w_1$ ，而在B中 $m_0$ 和 $w_1$ 成功匹配
从2中，我们可以知道，在A中， $m_0$ 曾经向 $w_1$ 求婚，但是 $w_1$ 已经有了对象，对象记为 $m_2$ 。而在B中， $w_1$ 虽然更喜欢 $m_2$ ，但还是选择了 $m_0$
因为B是stable matching，那么B中， $m_2$ 一定和一个，比起 $w_1$ 更喜欢的女人在一起了，记为 $w_3$
那么在A中， $m_2$ 一定先向 $w_3$ 求婚，被拒绝，然后再向 $w_1$ 求婚，然后在一起，但这与我们假设的“ $m_0$ 是在整个求婚过程中最先被拒绝的男人”相违背，证明B不存在，A是man-optimal的

woman-pessimal

反证法
假设在同一个场景下
Gale-Shapley Algorithm找出的matching为A，A不是woman-pessimal matching
存在一个stable matching为B，B是woman-pessimal matching

如果B是woman-pessimal，而A不是，那么B中至少一个有一个女的获得了更差的伴侣。
假设在A中， $m_0$ 和 $w_1$ 在一起，而 $m_0$ 不是 $w_1$ 最差的选择；
在B中 $m_2$ 和 $w_1$ 在一起，而 $m_2$ 是 $w_1$ 最差的选择
也就是对于 $w_1$ ，比起 $m_2$ 更喜欢 $m_0$
假设在B中 $m_0$ 和 $w_3$ 在一起，因为我们已经证明了Gale-Shapley找出的A是man-optimal的，所以对于 $m_0$ ，比起 $w_3$ 更喜欢 $w_1$
这样的话B中， $m_0$ 和 $w_1$ 是unstable的，所以B不存在，A是woman-pessimal的