《程序是怎样跑起来的》第三章——计算机进行小数运算时出错的原因？

本章的学习之前，有几个问题很不错，是我从未想过的：

1. 二进制数0.1，用十进制数表示的话是多少？

2. 用小数点后有3位的二进制数，能表示十进制数0.625吗？

3. 将小数分为符号、尾数、基数、指数4部分进行表现的形式称为什么？

4. 二进制数的基数是多少？

5. .通过把0作为数值范围的中间值，从而在不使用符号位的情况下来表示负数的表示方法称为什么？

6. 10101100.01010011 这个二进制数，用十六进制表示的话是多少？

这四个问题的答案分别为

• 0.5

• 能表示

• 浮点数（浮点数形式）

• 2

• EXCESS 系统表现

• AC.53

通常计算计算出来的结果是毋庸置疑的，因为计算机计算的精度比人计算的精度要高太多了。本章却告诉我们计算机也是会出错的！例如：将0.1累加100次的结果是多少?显而易见的答案为10。但计算机运行输出过后却是10.000002。这是为何？
经过了解，因为计算机内部是使用二进制运行的，整数和小数二进制有很大的差别，而且有一些十进制的小数无法转换为二进制数。所以结果才是10.000002。（小数点后四位用二进制表示是的数值范围为0.0000~0.1111。）

 如图所示，十进制的下一位是0.625.因此，这中间的小数就无法用二进制来表示。此外，实际上0.1这个数转换为二进制后会变成0.00011001100......这样的循环小数。这和1/3就是0.33333......一样，是循环小数。
而且带有小数的二进制数，例如1010.1010，这完全就是书面书写的形式，计算机内部是无法使用的，计算机内部处理小数时，通常使用浮点数表示法。最常用的浮点数表示法是IEEE 754标准，它定义了单精度（32位）和双精度（64位）浮点数的存储和运算规则。所以就有了各大编程语言中，我们熟悉的浮点数，浮点数指用符号、尾数、基数、和指数这四部分来表示的数：

 
在IEEE 754标准中，浮点数由三个部分组成（二进制基数为二，就不再提）：

1. 符号位（Sign bit）：符号位是指用一个数据位来表示数值的符号，用于表示正负数，0表示正数，1表示负数。

2. 指数位（Exponent）：使用EXCESS 系统表现（通过将指数部分表示范围的中间值设为0，使得负数不需要用符号来表示），用于表示数值的数量级。对于单精度浮点数，有8位指数位；对于双精度浮点数，有11位指数位。

3. 尾数位（Mantissa）：用于表示数值的精度(尾数部分使用正则表达式，将多种形式的浮点数统一为一种形式，方便计算机处理)。对于单精度浮点数，有23位尾数位；对于双精度浮点数，有52位尾数位。

 另外，计算机出错的原因之一就是用浮点数来处理小数（也会有位溢出而造成计算错误的情况），那么如何避免这两种错误呢？一是直接无视掉，因为计算机的精度很高，如果是如特别严苛的计算要求结果，这些微小的误差完全可以忽略。二是将小数转换为整数来计算，计算机在进行小数运算是可能会出现错误，但在进行整数运算时一定不会出错。

 补充：二进制和十六进制的关系：在数值的开头加上0x表示十六进制数，十六进制共32位。