频率响应分析方法

 
摘要:大家知道电感的阻抗为什么是jwL吗?滤波器的截止频率为什么是12πRC吗?本文将从复数的概念给大家推导出电感(容)的阻抗公式,并进一步以滤波器为例给大家介绍电路频率响应分析方法。

摘要
 

一、复数

我们在高等数学中学习了复数的概念:形如Z=a+bi的数称为复数,其中规定i为虚数单位,且ab是任意实数;同时规定i2=1(在复平面中,i特指“逆时针旋转90”的变换)。
复数Z=a+bi的模是Z点到复平面圆心处的距离:

(1)|Z|=a2+b2

复数Z=a+bi的幅角φ是复数在复平面中与X正半轴的夹角:

幅角

二、电感(容)阻抗公式推导

回到摘要中的问题:电感的阻抗为什么是jwL

大家都知道电感最基本(也是最重要)的公式是:

(2)U=Ldidt

再根据傅里叶变换原理,我们的电信号都是可以用傅里叶级数展开,由无数的正弦波构成。所以假设电感电流为:

(3)i=I0sin(wt)

所以电感电压为:

(4)U=Ldidt=LI0wsin(wt+π2)

电感电压除以电流就得到电感的阻抗:

(5)ZL=ui=LI0wsin(wt+π2)I0sin(wt)=jwL

说明:电感电压比电流相位超前90,所以这里直接引入虚数单位j(在复平面中,j特指“逆时针旋转90”的变换)。

同理,可推导出电容的阻抗为:

(6)ZC=1jwC

三、滤波器的频率响应分析

通过上述的推导发现电感(容)的阻抗是一个复数,所以用复数来分析电路将会非常方便;并且复数的模可以体现电路的幅频特性,复数的幅角可以体现电路的相频特性。

这是一个无源单级RC高通滤波器电路:

无源单级RC高通滤波器

滤波器的增益为:

(7)Av=UoUi=RR+1jwC=jwRC(1jwRC)(1+jwRC)(1jwRC)=(wRC)21+(wRC)2+jwRC1+(wRC)2

滤波器的幅频特性为:

(8)|Av|=wRC1+(wRC)21+(wRC)2=wRC1+(wRC)2

使用Matlab绘制高通滤波器的幅频特性曲线:

    w = linspace(0,99,100)
    R = 10
    C = 0.01
    y =w.*R.*C./sqrt(1+(w.*R.*C).^2)
    plot(w,y)
高通滤波器幅频特性曲线

同时我们还可以求解出高通滤波器的截止频率(Av=22Avmax):

(9)22=wRC1+(wRC)2

(10)w=1RC

(11)fL=12πRC

下面再让我们看一个例子,电路图如下:

高通滤波器幅频特性曲线

按照上述方法计算滤波器的增益:

(12)Av=R2R1+R2+1jwC

滤波器的幅频特性为:

(13)1|Av|=(R1+R2)2+1(wC)2R2

(14)|Av|=R2(R1+R2)2+1(wC)2

所以滤波器的截止频率为:

(15)fL=12π2R22(R1+R2)2C

为什么举这个例子呢?一是因为这个电路网络非常重要,R1可以看作前级电路的输出阻抗,R2可以看作后级电路的输出阻抗或负载,C为前后级电路的耦合电容;二是因为大多数人会自然而然地以为该电路网络的截止频率应该是fL=12π(R1+R2)C,所以我就在这里给出推导过程,消除大家的误解。

电路设计中的网络结构多种多样,有容性负载,也有感性负载,但只要掌握上述推理方法,总能拨开云雾见天日,守得云开见月明

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