Dijkstra算法的另一种证明

按：今天看Tanenbaum的计算机网络时讲到了Dijkstra算法。关于算法的正确性，《算法导论》给出了严格的证明。CLRS的证明基于一个通用的框架，非常清晰。今天只是随意想想是否有其他证明的方式，结果发现是有的。虽然这种证明方法可能早已有人用过，不算新鲜。不过自己想了一通就把它放到这里纯粹博大家一乐，我尽量写的简洁。

首先叙述下算法：

算法维护两个集合，S（已找到从源点v开始的最短路径的点）和Q（未找到从v开始的最短路径的点）。

算法初始时S为空集；Q中，从v到v本身的最短路径的权值为0，其他点均为正无穷。

在算法的每次迭代中，从Q中选择一个权值最小的点u，这个权值即为从v到u的最短路径，并且放入S。同时，遍历u的每个邻接点x，如果从v到u的最短路径加上从u到x的边的权值小于Q中记录的x的权值，则更新x的权值。

（由于实在懒得输入数学公式，哪些说的不清楚的地方还请参考CLRS。）

算法每次迭代找到一个点的最短路径直到S=V、Q为空。

 

证明：

使用数学归纳法，假设在某次迭代（不是第一次迭代）之前，S中的点的权值都是最短路径，我们证明某次迭代之后从Q中取出的点的权值依然是这个点的最短路径。

利用反正，假设本次迭代从Q中取出的点u的权值不是最短的，那么存在一条从v到u的路径小于这个权值。可知这条路径上u的前趋一定有一个属于S（因为至少v是属于S的），假设属于S的第一个前趋为x，而这条路径上x的后继为y。由算法的性质可知，这条路径从v到y的权值一定是不小于从Q中取出的u的权值的，那么可知刚刚找到的这条从v到u的路径权值也不小于从Q中取出的u的权值。这与假设矛盾。故u的权值是最短的。

而算法第一次迭代也满足从Q中取出的店的权值为最优这个性质，故算法的正确性得证。