[Z]寻找第K大的数的方法总结

http://www.cnblogs.com/zhjp11/archive/2010/02/26/1674227.html

      今天看算法分析是，看到一个这样的问题，就是在一堆数据中查找到第k个大的值。

      名称是：设计一组N个数，确定其中第k个最大值，这是一个选择问题，当然，解决这个问题的方法很多，本人在网上搜索了一番，查找到以下的方式，决定很好，推荐给大家。

      所谓“第（前）k大数问题”指的是在长度为n(n>=k)的乱序数组中S找出从大到小顺序的第（前）k个数的问题。

      解法1： 我们可以对这个乱序数组按照从大到小先行排序，然后取出前k大，总的时间复杂度为O(n*logn + k)。
      解法2： 利用选择排序或交互排序，K次选择后即可得到第k大的数。总的时间复杂度为O(n*k)
      解法3： 利用快速排序的思想，从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。这时有两种情况：
           1. Sa中元素的个数小于k，则Sb中的第k-|Sa|个元素即为第k大数；
           2. Sa中元素的个数大于等于k，则返回Sa中的第k大数。时间复杂度近似为O(n)
      解法4： 二分[Smin,Smax]查找结果X，统计X在数组中出现，且整个数组中比X大的数目为k-1的数即为第k大数。时间复杂度平均情况为O(n*logn)
      解法5：用O(4*n)的方法对原数组建最大堆，然后pop出k次即可。时间复杂度为O(4*n + k*logn)
      解法6：维护一个k大小的最小堆，对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小，若堆顶较大，则不管，否则，弹出堆顶，将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)
      解法7：利用hash保存数组中元素Si出现的次数，利用计数排序的思想，线性从大到小扫描过程中，前面有k-1个数则为第k大数，平均情况下时间复杂度O(n)

      附注：
      1. STL中可以用nth_element求得类似的第n大的数（由谓词决定），使用的是解法3中的思想，还可以用partial_sort对区间进行部分排序，得到类似前k大的数（由谓词决定），它采用的是解法5的思想。
      2. 求中位数实际上是第k大数的特例。
          《编程之美》2.5节课后习题：
           1. 如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
           解答：上面的解法均适用，需要注意的是浮点数比较时和整数不同，另外求hashkey的方法也会略有不同。
           2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
           解答：如果把问题看做m-k+1个第k大问题，则前面解法均适用。但是对于类似前k大这样的问题，最好使用解法5或者解法7，总体复杂度较低。
       3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
提示：堆排序？当每一个网页权重更新的时候，更新堆。还有更好的方法吗？
       解答：要达到快速的更新，我们可以解法5，使用映射二分堆，可以使更新的操作达到O(logn)

       4. 在实际应用中，还有一个“精确度”的问题。我们可能并不需要返回严格意义上的最大的K个元素，在边界位置允许出现一些误差。当用户输入一个query的时候，对于每一个文档d来说，它跟这个query之间都有一个相关性衡量权重f (query, d)。搜索引擎需要返回给用户的就是相关性权重最大的K个网页。如果每页10个网页，用户不会关心第1000页开外搜索结果的“精确度”，稍有误差是可以接受的。比如我们可以返回相关性第10 001大的网页，而不是第9999大的。在这种情况下，算法该如何改进才能更快更有效率呢？网页的数目可能大到一台机器无法容纳得下，这时怎么办呢？

      提示：归并排序？如果每台机器都返回最相关的K个文档，那么所有机器上最相关K个文档的并集肯定包含全集中最相关的K个文档。由于边界情况并不需要非常精确，如果每台机器返回最好的K’个文档，那么K’应该如何取值，以达到我们返回最相关的90%*K个文档是完全精确的，或者最终返回的最相关的K个文档精确度超过90%（最相关的K个文档中90%以上在全集中相关性的确排在前K），或者最终返回的最相关的K个文档最差的相关性排序没有超出110%*K。
      解答：正如提示中所说，可以让每台机器返回最相关的K'个文档，然后利用归并排序的思想，得到所有文档中最相关的K个。 最好的情况是这K个文档在所有机器中平均分布，这时每台机器只要K' = K / n （n为所有机器总数）；最坏情况，所有最相关的K个文档只出现在其中的某一台机器上，这时K'需近似等于K了。我觉得比较好的做法可以在每台机器上维护一个堆，然后对堆顶元素实行归并排序。

       5. 如第4点所说，对于每个文档d，相对于不同的关键字q1, q2, …, qm，分别有相关性权重f（d, q1），f（d, q2）, …, f（d, qm）。如果用户输入关键字qi之后，我们已经获得了最相关的K个文档，而已知关键字qj跟关键字qi相似，文档跟这两个关键字的权重大小比较靠近，那么关键字qi的最相关的K个文档，对寻找qj最相关的K个文档有没有帮助呢？

解答：肯定是有帮助的。在搜索关键字qj最相关的K个文档时，可以在qj的“近义词”相关文档中搜索部分，然后在全局的所有文档中在搜索部分。

 

一个更详尽的解法可参阅 http://www.binghe.org/2011/05/find-kth-largest-number-in-disorder-array/

无序整数数组中找第k大的数

写一段程序，找出数组中第k大小的数，输出数所在的位置。

【解法一】

我们先假设元素的数量不大，例如在几千个左右，在这种情况下，那我们就排序一下吧。在这里，快速排序或堆排序都是不错的选择，他们的平均时间复杂度都是 O（N * log2N）。然后取出前 K 个，O（K）。总时间复杂度 O（N * log2N）+ O（K） = O（N * log2N）。

你一定注意到了，当 K=1 时，上面的算法也是 O（N * log2N）的复杂度，而显然我们可以通过 N-1 次的比较和交换得到结果。上面的算法把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的 K 个数，并不需要前 K 个数有序，也不需要后 N-K 个数有序。

怎么能够避免做后 N-K 个数的排序呢？我们需要部分排序的算法，选择排序和交换排序都是不错的选择。把 N 个数中的前 K 大个数排序出来，复杂度是O（N * K）。

那一个更好呢？O（N * log2N）还是 O（N * K）？
这取决于 K 的大小，这是你需要在面试者那里弄清楚的问题。在 K（K < = log2N）较小的情况下，可以选择部分排序。

在下一个解法中，会通过避免对前 K 个数排序来得到更好的性能。

【解法二】

回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将待排数据分做两组，其中一组的数据的任何一个数都比另一组中的任何一个大，然后再对两组分别做类似的操作，然后继续下去……

在本问题中，假设 N 个数存储在数组 S 中，我们从数组 S 中随机找出一个元素 X，把数组分为两部分 Sa 和 Sb。Sa 中的元素大于等于 X，Sb 中元素小于 X。

这时，有两种可能性：

1. Sa中元素的个数小于K，Sa中所有的数和Sb中最大的K-|Sa|个元素（|Sa|指Sa中元素的个数）就是数组S中最大的K个数。

2. Sa中元素的个数大于或等于K，则需要返回Sa中最大的K个元素。

这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度 O（N *log2K）。伪代码如下：

Kbig(S, k):
if(k <= 0):
return [ ] // 返回空数组

if(length S <= k):
return S
(Sa, Sb) = Partition(S)
return Kbig(Sa, k).Append(Kbig(Sb, k – length Sa)

Partition(S):

Sa = [] // 初始化为空数组

Sb = []
// 随机选择一个数作为分组标准，以避免特殊数据下的算法退化
// 也可以通过对整个数据进行洗牌预处理实现这个目的
// Swap(S[1], S[Random() % length S])
p = S[1]
for i in [2: length S]:
S[i] > p ? Sa.Append(S[i]) : Sb.Append(S[i])
// 将p加入较小的组， 可以避免分组失败， 也使分组更均匀，提高效率
length Sa < length Sb ? Sa.Append(p) : Sb.Append(p)
return (Sa, Sb)

【解法三】

寻找 N 个数中最大的 K 个数，本质上就是寻找最大的 K 个数中最小的那个，也就是第 K 大的数。可以使用二分搜索的策略来寻找 N 个数中的第 K 大的数。对于一个给定的数 p，可以在 O（N）的时间复杂度内找出所有不小于 p 的数。假如 N 个数中最大的数为 Vmax，最小的数为 Vmin，那么这 N 个数中的第 K 大数一定在区间[Vmin, Vmax]之间。那么，可以在这个区间内二分搜索 N 个数中的第 K大数 p。伪代码如下：

while(Vmax-Vmin > delta)
{
Vmid = Vmin + (Vmax – Vmin) * 0.5;
if(f(arr, N, Vmid) >= K)
Vmin = Vmid;
else
Vmax = Vmid;
}

伪代码中 f（arr, N, Vmid）返回数组 arr[0, …, N-1]中大于等于 Vmid 的数的个数。

上述伪代码中，delta 的取值要比所有 N 个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta 可以取值 0.5。循环运行之后，得到一个区间（Vmin, Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）。
这个元素就是第 K 大的元素。
整个算法的时间复杂度为 O（N * log2（|Vmax – Vmin|/delta））。
由于 delta 的取值要比所有 N 个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小，因此时间复杂度跟数据分布相关。在数据分布平均的情况下，时间复杂度为 O（N * log2（N））。

在整数的情况下，可以从另一个角度来看这个算法。假设所有整数的大小都在[0, 2m-1]之间，也就是说所有整数在二进制中都可以用 m bit 来表示（从低位到高位,分别用 0, 1, …, m-1 标记）。我们可以先考察在二进制位的第（m-1）位，将 N 个整数按该位为 1 或者 0 分成两个部分。也就是将整数分成取值为[0, 2m-1-1]和[2m-1, 2m-1]两个区间。前一个区间中的整数第（m-1）位为 0，后一个区间中的整数第（m-1）位为 1。如果该位为 1 的整数个数 A 大于等于 K，那么，在所有该位为 1 的整数中继续寻找最大的 K 个。否则，在该位为 0 的整数中寻找最大的 K-A 个。接着考虑二进制位第（m-2）位，以此类推。思路跟上面的浮点数的情况本质上一样。

对于上面两个方法，我们都需要遍历一遍整个集合，统计在该集合中大于等于某一个数的整数有多少个。不需要做随机访问操作，如果全部数据不能载入内存，可以每次都遍历一遍文件。经过统计，更新解所在的区间之后，再遍历一次文件，把在新的区间中的元素存入新的文件。下一次操作的时候，不再需要遍历全部的元素。每次需要两次文件遍历，最坏情况下，总共需要遍历文件的次数为2 * log2（|Vmax – Vmin|/delta）。由于每次更新解所在区间之后，元素数目会减少。
当所有元素能够全部载入内存之后，就可以不再通过读写文件的方式来操作了。

此外，寻找 N 个数中的第 K 大数，是一个经典问题。理论上，这个问题存在线性算法。不过这个线性算法的常数项比较大，在实际应用中效果有时并不好。

【解法四】

我们已经得到了三个解法，不过这三个解法有个共同的地方，就是需要对数据访问多次，那么就有下一个问题，如果 N 很大呢，100 亿？（更多的情况下，是面试者问你这个问题）。这个时候数据不能全部装入内存（不过也很难说，说知道以后会不会 1T 内存比 1 斤白菜还便宜），所以要求尽可能少的遍历所有数据。

不妨设 N > K，前 K 个数中的最大 K 个数是一个退化的情况，所有 K 个数就是最大的 K 个数。如果考虑第 K+1 个数 X 呢？如果 X 比最大的 K 个数中的最小的数 Y 小，那么最大的 K 个数还是保持不变。如果 X 比 Y 大，那么最大的 K个数应该去掉 Y，而包含 X。如果用一个数组来存储最大的 K 个数，每新加入一个数 X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数 Y。用 X 替代 Y，或者保持原数组不变。这样的方法，所耗费的时间为 O（N * K）。

进一步，可以用容量为 K 的最小堆来存储最大的 K 个数。最小堆的堆顶元素就是最大 K 个数中最小的一个。每次新考虑一个数 X，如果 X 比堆顶的元素Y 小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的 K 个数小。如果 X 比堆顶元素大，那么用 X 替换堆顶的元素 Y。在 X 替换堆顶元素 Y 之后，X 可能破坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性质。更新过程花费的时间复杂度为 O（log2K）。

图 2-1 是一个堆，用一个数组 h[]表示。每个元素 h[i]，它的父亲结点是 h[i/2]，儿子结点是 h[2 * i + 1]和 h[2 * i + 2]。每新考虑一个数 X，需要进行的更新操作伪代码如下:

if(X > h[0])
{
h[0] = X;
p = 0;
while(p < K)
{
q = 2 * p + 1;
if(q >= K)
break;
if((q < K-1) && (h[q + 1] < h[q]))
q = q + 1;
if(h[q] < h[p])
{
t = h[p];
h[p] = h[q];
h[q] = t;
p = q;
}
else
break;
}
}

因此，算法只需要扫描所有的数据一次，时间复杂度为 O（N * log2K）。这实际上是部分执行了堆排序的算法。在空间方面，由于这个算法只扫描所有的数据一次，因此我们只需要存储一个容量为 K 的堆。大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果 K 仍然很大，我们可以尝试先找最大的 K’个元素，然后找第 K’+1个到第 2 * K’个元素，如此类推（其中容量 K’的堆可以完全载入内存）。不过这样，我们需要扫描所有数据 ceil1（K/K’）次。

【解法五】

上面类快速排序的方法平均时间复杂度是线性的。能否有确定的线性算法呢？是否可以通过改进计数排序、基数排序等来得到一个更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的适用范围会受到一定的限制。

如果所有 N 个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的 K 个。比如，所有整数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组 count[MAXN]来记录每个整数出现的个数（count[i]表示整数 i 在所有整数中出现的个数）。我们只需要扫描一遍就可以得到 count 数组。然后，寻找第 K 大的元素：

for(sumCount = 0, v = MAXN-1; v >= 0; v–)
{
sumCount += count[v];
if(sumCount >= K)
break;
}
return v;

极端情况下，如果 N 个整数各不相同，我们甚至只需要一个 bit 来存储这个整数是否存在。