UVA-712-S-Trees-完全二叉树

注意：本文只给出作者认为必要的知识点并且可能存在疏漏。

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目录

• 一、题目大意
• 二、理论基础
• • 1. 二叉树
  • • 1.1 二叉树的定义
    • 1.2 二叉树的性质
  • 2. 满二叉树
  • 3. 完全二叉树
  • • 3.1 完全二叉树的定义
    • 3.2 完全二叉树的性质 `本题重点`
• 三、解题思路
• 四、参考代码

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一、题目大意

  给一颗 深度 为 n 的 完全二叉树 ，每一层的 非终端结点 都有特定值 X_i（1、0），从根结点开始向下走，若当前 X_i 的值为1则向右子树深入，否则向左子树深入，输出到达 叶子结点 的值。其有 2_n 个叶子结点，叶子结点的值按序给出，但 X_i 的排列为无序。原题链接

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二、理论基础

1. 二叉树

1.1 二叉树的定义

  一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两颗子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且，二叉树的子树的左右之分，其次序不能任意颠倒。¹

1.2 二叉树的性质

1. 在二叉树的第 i 层上至多有 2^i-1 个结点。 $i\ge 0$
2. 深度为 k 的二叉树最大结点数为 $$\sum _{i=1}^k=2^k-1,k\ge 1$$
3. 对于任意二叉树，若其终端结点数为 x，度为2的结点数为 y，则$x=y+1$。

2. 满二叉树

  一颗深度为 k 且有 2^k-1 个结点的二叉树，每一层上的结点数都是最大结点数。对满二叉树的结点进行连续编号（一般从1开始编号），约定编号从根结点起，自上而下，从左向右。¹

3. 完全二叉树

3.1 完全二叉树的定义

  一颗深度为 k 的二叉树并对其结点进行编号，若其与深度同为 k 的满二叉树的编号一一对应（编号从1到n且连续）则为完全二叉树。满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树是满二叉树按序删去末尾结点的产物。

3.2 完全二叉树的性质 本题重点

1. 对于任意非终端结点 i，若其有左孩子，则必为结点 $2\times i$。
2. 对于任意非终端结点 i，若其有右孩子，则必为结点 $2\times i+1$。

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三、解题思路

  按完全二叉树的结点编号规律进行递推即可计算出叶子结点的编号，注意本题深度从0开始并且 X_i 的排列为无序。

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四、参考代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 129
#define INF 0x3f3f3f
typedef long long ll;


int main() {
	int n, order[7], Case = 1, T, base;
	char c[3],  stemp[8], s[maxn];
	vector<int> result;
	result.reserve(maxn * 4);//优化速度
	ios::sync_with_stdio();
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	while (cin >> n && n) {
		result.clear();//清空
		base = 1 << n;
		for (int i = 0; i < n; ++i) {
			cin >> c;
			order[i] = c[1] - '1';
		}
		cin >> s >> T;
		for (int i = 0; i < T; ++i) {
			int itemp = 1;
			cin >> stemp;
			for (int j = 0; j < n; ++j) {
				itemp <<= 1;
				itemp += stemp[order[j]] == '0' ? 0 : 1;//右孩子加1
			}
			result.push_back(s[itemp - base] - '0');//itemp为叶子结点的编号
		}
		cout << "S-Tree #" << Case++ << ':' << endl;
		for (int i = 0; i < result.size(); ++i)
			cout << result[i];
		putchar('\n');
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}

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1. 数据结构(C语言版) [专著] / 严蔚敏，吴伟民编著 ↩︎ ↩︎