后缀树及其应用
Suffix Trie ： 又称后缀Trie或后缀树。它与Trie树的最大不同在于，后缀Trie的字符串集合是由指定字符串的后缀子串构成的。比如、完整字符串"minimize"的后缀子串组成的集合S分别如下：
s1=minimize
s2=inimize
s3=nimize
s4=imize
s5=mize
s6=ize
s7=ze
s8=e
然后把这些子串的公共前缀作为内部结点构成一棵"minimize"的后缀树，如图所示，其中上图是Trie树的字符表示，下图是压缩表示(详细见《Trie树 》)。可见Suffic Trie是一种很适合操作字符串子串的数据结构。 它和PAT tree在这一点上类似。
Suffix Trie的创建
标准Tire树的每一个内部结点只有一个字符，也就是说公共前缀每一次只找一个。而Suffix Trie的公共前缀可以是多个字符，因此在创建Suffix Trie的时候，每插入一个后缀子串，就可能对内部结点造成一次分类。下面我们我们看一种后缀树构造算法。以"minimize"为例：
当插入子串时，发现叶子结点中的关键字与子串有公共前缀，则需要将该叶子结点分裂。如上图第3到4步。否则，重新创建一个叶子结点来存放后缀，如上图第1到2步
Suffix Trie的子串查询
如果在后缀树T中查找子串P，我们需要这样的过程：
(1) 从根结点root出发，遍历所有的根的孩子结点：N1,N2,N3....
(2) 如果所有孩子结点中的关键字的第一个字符都和P的第一个字符不匹配，则没有这个子串，查找结束。
(3) 假如N3结点的关键字K3第一个字符与P的相同，则匹配K3和P。
若 K3.length>=P.length 并且K3.subString(0,P.length-1)=P，则匹配成功，否则匹配失败。
若 K3.length<=P.length 并且K3=P.subString(0, K3.length-1)，则将子串P1=P.subString(K3.length, P.length); 即取出P中排除K3之后的子串。然后P1以N3为根结点继续重复(1)~(3)的步骤。直到匹配完P1的所有字符，则匹配成功。否则匹配失败。
查询效率：很显然，在上面的算法中。匹配成功正好比较了P.length次字符。而定位结点的孩子指针，和Trie情况类似，假如字母表数量为d。则查询效率为O(d*m)，实际上，d是固定常数，如果使用Hash表直接定位，则d=1.
因此，后缀树查询子串P的时间复杂度为O(m)，其中m为P的长度。
Suffix Trie的应用
标准Trie树只适合前缀匹配和全字匹配，并不适合后缀和子串匹配。而后缀树在这方面则非常合适。
另外后缀树也可以进行前缀匹配。 如果模式串P是字符串S的前缀的话，那么从根结点出发遍历后缀树，一定能够寻找到一条路径完全匹配完P。比如上图： 模式串P=“mini”，主串S="minimize"。P从根节点出发，首先匹配到结点mi，然后再匹配孩子结点nimize。直到P中所有的字符都找到为止。所以P是S的前缀。
简单点说，后缀树就是将一个给定字符串的所有后缀全部压入一个Trie,然后将只有单个叶子的节点压缩，从而形成的一棵树.
2,后缀树的用途，总结起来大概有如下几种
(1). 查找字符串o是否在字符串S中。
方案：用S构造后缀树，按在trie中搜索字串的方法搜索o即可。
原理：若o在S中，则o必然是S的某个后缀的前缀。
例如S: leconte，查找o: con是否在S中,则o(con)必然是S(leconte)的后缀之一conte的前缀.有了这个前提，采用trie搜索的方法就不难理解了。
(2). 指定字符串T在字符串S中的重复次数。
方案：用S+’$'构造后缀树，搜索T节点下的叶节点数目即为重复次数
原理：如果T在S中重复了两次，则S应有两个后缀以T为前缀，重复次数就自然统计出来了。
(3). 字符串S中的最长重复子串
方案：原理同2，具体做法就是找到最深的非叶节点。
这个深是指从root所经历过的字符个数，最深非叶节点所经历的字符串起来就是最长重复子串。
为什么要非叶节点呢?因为既然是要重复，当然叶节点个数要>=2。
(4). 两个字符串S1，S2的最长公共部分
方案：将S1#S2$作为字符串压入后缀树，找到最深的非叶节点，且该节点的叶节点既有#也有$(无#)。
3,后缀树的构造:O(n)
给定一个txt:`mississippi'
(1)得到txt的所有后缀:
T1 = mississippi = txt
T2 = ississippi
T3 = ssissippi
T4 = sissippi
T5 = issippi
T6 = ssippi
T7 = sippi
T8 = ippi
T9 = ppi
T10 = pi
T11 = i
T12 = (empty)
(2)将所有非空后缀进行排序,得到:
T11 = i
T8 = ippi
T5 = issippi
T2 = ississippi
T1 = mississippi
T10 = pi
T9 = ppi
T7 = sippi
T4 = sissippi
T6 = ssippi
T3 = ssissippi
(3)将所有后缀的公有前缀进行合并,即可得到:
tree substrings
tree-->|---mississippi m .. mississippi
|
|---i-->|---ssi-->|---ssippi i .. ississippi
| | |
| | |---ppi issip,issipp,issippi
| |
| |---ppi ip, ipp, ippi
|
|---s-->|---si-->|---ssippi s .. ssissippi
| | |
| | |---ppi ssip, ssipp, ssippi
| |
| |---i-->|---ssippi si .. sissippi
| |
| |---ppi sip, sipp, sippi
|
|---p-->|---pi p, pp, ppi
|
|---i p, pi
--- Suffix Tree for "mississippi" ---
4,应用
问题:
寻找字符串S的最长回文字符串.
注:所谓“回文”是指当一个字符串正序读和逆序读时都一样。即p=reverse(p)
分析:
等价于寻找S与reverse(S)的最长公共部分.
