猴子排序的期望复杂度推导(雾)
众所周知,猴子排序打破了排序算法$O(n\log{n})$的桎梏(雾),具体的话,显然最好情况一次成功就是$O(n)$,最坏情况那就$O(+\infty)$了。期望是多少呢?让我来推导一番(逃)。
首先,设序列长度为$n$,每次打乱序列和检测是否有序为$O(n)$,每次成功的概率为$\frac{1}{n!}$(全排列共$n!$种),失败的概率为$1-\frac{1}{n!}$。我们令$X$为排序成功所需的打乱次数,则$P(X=k)=P_{成功}^{1}×P_{失败}^{k-1}$(乘法原理)。那么猴子排序的期望复杂度就是$O(E(X)*n)$
X分布列如下表所示——
$X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $k$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
$P(X=k)$ | $\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}$ | $\cdots$ | $+\infty$ |
有了分布列就来求X的期望吧——
$$E(X)=1×\frac{1}{n!}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2-1}×\frac{1}{n!}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{3-1}×\frac{1}{n!}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}×\frac{1}{n!}+\cdots$$
$$=\frac{1}{n!}×\left[1×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{0}+2×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{1}+3×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{2}+\cdots+k×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{k-1}+\cdots\right]$$
$$=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$$
嗯……这个级数怎么求和啊?
写个程序跑一下吧,求和求到二百万应该够了,再往上long double的精度也不资磁了……
#include<stdio.h> #include<math.h> int main() { double fac=1;//n! for(int n=1;n<=10;n++) { long double E=0; fac*=n; for(int i=1;i<=2000000;i++) { E+=i*pow((fac-1.0)/fac,i-1); } E/=fac; printf("E(X)=%Lf (n=%d)\n",E,n); } return 0; }
运行结果——
n大于8以后,long double都爆了……忽略它们!(观众:你……)
于是我们猜想——$E(X)=n!$。
上网一查,猴子排序复杂度果然是$O(n×n!)$,于是,猜想成立,推导完毕……(博主已被打死)
留坑,等我会求那坨级数求和再来填坑吧(逃)大家别学我
2019年1月21日13:45:56更新
填坑啦!填坑啦!(这学期高数应该不会挂了嘻嘻)
那个$E(X)=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left[{i×\left(1-\frac{1}{n!}\right)^{i-1}}\right]$是一个以$n$为自变量的幂级数,对$E(X)$逐项积分可得$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×\sum_{i=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n!}\right)^i$$
又
$$\sum_{i=1}^{\infty}k^i=\frac{1}{1-k}-1 (-1<k<1)$$
令$k=1-\frac{1}{n!}$
则$$\int {E(X)\,dn}=\frac{1}{n!}×(n!-1)=1-\frac{1}{n!}$$
两边再求导可得……可得啥来着?稍等……再次留坑