BZOJ 1013 cogs 1845 [JSOI2008]球形空间产生器sphere

题目描述

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

输入

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

输出

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

样例输入

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

样例输出//大坑！！！这题在BZOJ上行末不能有空格，不然PE！丧病……上面要求的6位小数也是假的，要3位

0.500 1.500

提示 

　　1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

　　2、 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为$(a_1, a_2, …, a_n)$, $(b_1, b_2, …, b_n)$，则AB的距离定义为：$dist = \sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + … + (a_n-b_n)^2}$

//博主是LaTeX成瘾者

解题思路

　　按照提示列出方程，发现二次项好烦啊！于是第1到第n个点的方程全部与第n+1个点的方程相减，二次项就消去了，然后就直接套高斯消元吧（个人觉得高斯消元解线性方程组就是加减消元的纯模拟，最多再加上了一个技巧——找当前列最大系数来消避免被卡精度）。这题不找当前列最大系数不会被卡精度，我没写……

源代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
double m[12][12]={0};
double x[12]={0};
double xy[12][12]={0},sum[12]={0};//sum[i]为第i个点到原点距离的平方;
int main()
{
    //freopen("bzoj_1013.in","r",stdin);
    //freopen("bzoj_1013.out","w",stdout);//cogs的印记
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            scanf("%lf",&xy[i][j]);
            sum[i]+=xy[i][j]*xy[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//消去二次项，形成m
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            m[i][j]=2*(xy[i][j]-xy[n+1][j]);
        }
        m[i][n+1]=sum[i]-sum[n+1];
    }
    //高斯消元
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if(abs(m[j][i])<1e-6) continue;
            double k=m[j][i]/m[i][i];
            for(int h=i;h<=n+1;h++)
            {
                m[j][h]-=m[i][h]*k;
            }
        }
    }
    for(int i=n;i;i--)
    {
        x[i]=m[i][n+1]/m[i][i];
        for(int j=i-1;j;j--)
        {
            m[j][n+1]-=x[i]*m[j][i];
            m[j][i]=0;
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++) printf("%.3lf ",x[i]);
    printf("%.3lf",x[n]);
    return 0;
}