洛谷 P1494 BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

//洛谷题面字体、排版我向来喜欢，却还没收录这道如此有名的题，BZOJ的题面字体太那啥啦，清橙的题面有了缩进，小标题却和正文字体一致，找个好看的题面咋这么难呐…………

//2019年3月23日23:07:06  洛谷把这题放在了P1494的位置。我以前做的不少水题都被删了的说（洛谷的难度标识太吓人了，当年看见不少题都是因为标称难度不敢做的。大学acm时抛开这个大包袱，看着那些题也不难）

题目描述

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

输入

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

输出

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

样例输入

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

样例输出

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

提示

 无

来源

版权所有者：莫涛

 

解题思路

　　莫队算法是莫队(上面那个莫涛，当时IOI国家队队长来着)发明的%%%%%%。大概思路我在这里大概描述过。这题重点就是推公式，然而不会在这里打公式留坑，学会了再来填坑吧(逃)。 //2019年03月05日19:55:12 会打公式了，但啥是莫队啊 //2019年3月23日23:10:08 挺简单的。答案是一个分数，显然约分之前，分母就是$C_{r-l+1}^2$，求分子fz有两个方向——

　　　　1、刚开始区间长度为零时fz肯定时0，每当扩增一个元素时，就相当于新加进来的袜子可以和区间内原有的同色袜子分别匹配，方案数就增加f[c[i]]，然后f[c[i]]再加一。

　　　　2、另一种思路就是，每变化一种颜色，分子产生的变化大概是这样——$C_{f[c[i]]+1}^2-C_{f[c[i]]}^2$。把式子展开，和分母放在一起，该约分约分，该提公因式提公因式，然后就可以写代码了。

　　下面的源代码，第一份是高中时的，第二个方向，第二份时2019年3月24日01:26:19的(不小心又那么晚了，效率低，但一直想不到办法？)，第一个方向。

源代码

　　吐槽别问我为什么for里的i都要开long long，只有f数组、分子fz开long long的后果——

　　清橙能看每个点的情况真好，不像BZOJ就一个WA。

　　一气之下我选择了"查找替换"把int全换成long long了(除了main函数)

　　极限数据50000*50000，longlong会教你做人←_← 

2019年3月24日01:43:02更新 其实是常数1搞得，，，把那些加减乘除位移啥的里面的1全部换成1LL就好，见第二份代码。变量提升啥的也不是很智能的说。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n,m;

long long color[50010]={0};
long long f[50010]={0};//桶，存区间内颜色数量

long long ll,rr;
long long fz;

struct que{
    long long l;
    long long r;
    long long pos;
    long long id;
    long long ansz,ansm;
}q[50010];
bool cmp1(const que & a,const que & b)
{
    return a.pos==b.pos?a.r<b.r:a.pos<b.pos;
}
bool cmp2(const que & a,const que & b)
{
    return a.id<b.id;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    long long kuai=sqrt(n);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",color+i);
    for(long long i=1,l,r;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&l,&r);
        q[i].l=l;
        q[i].r=r;
        q[i].pos=l/kuai;
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp1);
    ll=1,rr=1,fz=0;
    f[color[1]]++;
    for(long long i=1;i<=m;i++)
    {
        while(rr<q[i].r)
        {
            rr++;
            f[color[rr]]++;
            fz+=f[color[rr]]-1<<1;
        }
        while(ll<q[i].l)
        {
            f[color[ll]]--;
            fz-=f[color[ll]]<<1;
            ll++;
        }
        
        while(ll>q[i].l)
        {
            ll--;
            fz+=f[color[ll]]<<1;
            f[color[ll]]++;
        }
        while(rr>q[i].r)
        {
            f[color[rr]]--;
            fz-=f[color[rr]]<<1;
            rr--;
        }
        q[i].ansz=fz;
        q[i].ansm=(rr-ll+1)*(rr-ll);
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp2);
    for(long long i=1;i<=m;i++)
    {
        if(!q[i].ansz)
        {
            printf("0/1\n");
            continue;
        }
        long long temp=__gcd(q[i].ansz,q[i].ansm);
        printf("%lld/%lld\n",q[i].ansz/temp,q[i].ansm/temp);
    }
    return 0;
}

#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<math.h>//码风变化还是有啊

int n,t,m;
int c[50010];
struct Que{
    int l;
    int r;
    int id;
    long long ansz,ansm;
    bool operator <(const Que & y)const{
        if(l/t==y.l/t) return r<y.r;
        return l/t<y.l/t;
    }
}q[50010];
inline bool cmp2(const Que & a,const Que & b){return a.id<b.id;}
long long count[50010];

int main()
{
    // freopen("test.in","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    t=sqrt(n);//块数
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",c+i);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    std::sort(q,q+m);
    long long fz=0;
    int l=0,r=0;
    count[c[0]]++;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        while(r<q[i].r)
        {
            r++;
            fz+=count[c[r]];
            count[c[r]]++;
        }
        while (l>q[i].l)
        {
            l--;
            fz+=count[c[l]];
            count[c[l]]++;
        }
        while(r>q[i].r)
        {
            count[c[r]]--;
            fz-=count[c[r]];
            r--;
        }
        while(l<q[i].l)
        {
            count[c[l]]--;
            fz-=count[c[l]];
            l++;
        }
        q[i].ansz=fz;
        q[i].ansm=(r-l+1LL)*(r-l)>>1LL;
    }
    std::sort(q,q+m,cmp2);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(q[i].ansz==0) printf("0/1\n");
        else
        {
            long long g=std::__gcd(q[i].ansz,q[i].ansm);
            printf("%lld/%lld\n",q[i].ansz/g,q[i].ansm/g);
        }
    }
    return 0;
}