洛谷 P4151 BZOJ 2115 [WC2011]最大XOR和路径

//bzoj上的题面太丑了，导致VJ的题面也很丑，于是这题用洛谷的题面

题面描述

XOR（异或）是一种二元逻辑运算，其运算结果当且仅当两个输入的布尔值不相等时才为真，否则为假。 XOR 运算的真值表如下（\(1\) 表示真， \(0\) 表示假）：

而两个非负整数的 XOR 是指将它们表示成二进制数，再在对应的二进制位进行 XOR 运算。

譬如 \(12\) XOR \(9\) 的计算过程如下：

故 \(12\) XOR \(9\) = 5$。

容易验证， XOR 运算满足交换律与结合律，故计算若干个数的 XOR 时，不同的计算顺序不会对运算结果造成影响。从而，可以定义 \(K\) 个非负整数 \(A_1，A_2，……，A_{K-1}，A_K\)的 XOR 和为

\(A_1\) XOR \(A_2\) XOR …… XOR \(A_{K-1}\) XOR \(A_K\)

考虑一个边权为非负整数的无向连通图，节点编号为 \(1\) 到 \(N\)，试求出一条从 \(1\) 号节点到 \(N\) 号节点的路径，使得路径上经过的边的权值的 XOR 和最大。

路径可以重复经过某些点或边，当一条边在路径中出现了多次时，其权值在计算 XOR 和时也要被计算相应多的次数，具体见样例。

输入格式

输入文件 xor.in 的第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\)， 表示该无向图中点的数目与边的数目。

接下来 \(M\) 行描述 \(M\) 条边，每行三个整数 \(S_i\)， \(T_i\) ， \(D_i\)， 表示 \(S_i\) 与 \(T_i\) 之间存在一条权值为 \(D_i\) 的无向边。

图中可能有重边或自环。

输出格式

输出文件 xor.out 仅包含一个整数，表示最大的 XOR 和（十进制结果）。

输入输出样例

输入 #1

 5 7
 1 2 2
 1 3 2
 2 4 1
 2 5 1
 4 5 3
 5 3 4
 4 3 2

输出 #1

6

说明/提示

【样例说明】

如图，路径\(1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5\)对应的XOR和为

\(2\) XOR \(1\) XOR \(2\) XOR \(4\) XOR \(1\) XOR \(1\) XOR \(3 = 6\)

当然，一条边数更少的路径\(1 \rightarrow 3 \rightarrow 5\)对应的XOR和也是\(2\) XOR \(4 = 6\)。

【数据规模】

对于 \(20 \%\) 的数据，\(N \leq 100，M \leq 1000，D_i \leq 10^{4}\)；

对于 \(50 \%\) 的数据，\(N \leq 1000，M \leq 10000，D_i \leq 10^{18}\)；

对于 \(70 \%\) 的数据，\(N \leq 5000，M \leq 50000，D_i \leq 10^{18}\)；

对于 \(100 \%\) 的数据，\(N \leq 50000\)， \(M \leq 100000\)，\(D_i \leq 10^{18}\)。

解题思路

看了题解可知，这题先dfs一遍图，随便找一条从起点到终点的路，求出路上的异或值，同时把所有搜索到的环的异或值全部加入线性基，然后把那条路上的异或值放到线性基里，找能够异或到的最大值，然后就是答案。敷衍

这题的思想有点像我这学期高数刚学的格林公式，不知道的就别管这个词了。我们从那条路起点\(1\)出发，到达路中间的一个点\(x\)，然后离开这条路，通过某一段 \(x \rightarrow y\) 走到某个环上的一个点\(y\)，然后从点\(y\)开始绕环一周，回到点\(y\)，再从点\(y\)通过刚才那段\(y \rightarrow x\) 回到点\(x\)，再接着走完那条路剩下的部分\(x\rightarrow n\)。由“异或两次同一个数相当于没有异或”的性质可以知道，\(x\rightarrow y\)和\(y\rightarrow x\)就互相抵消了，于是答案就是\(1\rightarrow n\)的异或值再异或上那个环的异或值。再多走几个环，就再多异或几个环就好。

那么为什么最开始随便选一条路就好呢？是这样：假设存在两条路可以从\(1\)到\(n\)，那么因为是无向图，这两条路就成了一个环，我们dfs过程中就会把这个环加入线性基。走了其中一条路，再走这个环，就相当于走了另一条路。

源代码

#include<stdio.h>

const int MAXN=5e5+5,MAXM=4e5+5;
typedef long long ull;
int n,m;

struct Edge{
	int nxt,to;
	ull w;
}e[MAXM<<1];
int cnt=1,head[MAXN];
inline void add(int u,int v,ull w)
{
	e[cnt]={head[u],v,w};
	head[u]=cnt++;
	e[cnt]={head[v],u,w};
	head[v]=cnt++;
}


ull b[64]={0};//线性基
inline void addb(ull a)
{
	for(int i=62;~i;i--)
	{
		if(a>>i)
		{
			if(b[i]) a^=b[i];
			else
			{
				b[i]=a;
				return;
			}
		}
	}
}
inline ull mx(ull ans)
{
	for(int i=62;~i;i--)
		if((ans^b[i])>ans) ans^=b[i];
	return ans;
}
bool vis[MAXN];
ull dis[MAXN];//从1搜过来的值
void dfs(int u)
{
	vis[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].to;
		if(vis[v])
			addb(dis[v]^dis[u]^e[i].w);
		else
		{
			dis[v]=dis[u]^e[i].w;
			dfs(v);
		}
	}
}
int main()
{
	//freopen("test.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(m--)
	{
		int u,v;
		ull w;
		scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
	}
	dfs(1);
	printf("%lld\n",mx(dis[n]));
	return 0;
}