洛谷 P4570 BZOJ 2460 [BJWC2011]元素

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解题思路

看题解可知 我们将矿石按照魔法值降序排序，然后依次将矿石编号放入线性基（突然想起线代里某个叫施密特正交化的东西……）以判断是否会和之前已经使用的矿石发生魔法抵消（线性基还是有点懵……），如果不会抵消，就贪心地选上。

关于这题贪心正确性的证明，我查到的有以下几种

• 拟阵（留坑）

  • bzoj2460题解
  • [抄书]贪心策略的理论基础——拟阵
  • 2007年集训队论文 刘雨辰 《对拟阵的初步研究》

• 看着挺不错的 https://www.cnblogs.com/acmsong/p/7508022.html

• 更普通一点的证明 https://blog.csdn.net/lqybzx/article/details/79416710

  贪心，按照value从大到小排序然后往线性基里插入就可以得到答案
  下面我们来证明（伪）一下
  我们先进行排序，编号为a[1]到a[n]，价值为v[1]到v[n]
  首先证明a[1]一定在答案里
  这里用反证
  假设答案为a[k1],a[k2]，……,a[km]
  a[1]不在里面说明a[1]可以被一些线性表示
  即a[1]=a[ki1]^a[ki2]……^ a[kix]
  那么我们可以用a[1]替换右边的另外一个，使得所有的线性无关
  又a[1]的价值大于右边任意一个，因此a[1]必定在答案里
  接下来考虑a[j]
  如果a[j]可以被a[1]到a[j-1]中的数线性表示，那么a[j]肯定不优，不加入答案
  此时即a[j]无法插入到线性基里面
  如果a[j]不能被a[1]到a[j-1]中的数线性表示，即a[j]可以被插入线性基里
  那么如果a[j]不在答案，那么a[j]必定可以被a[1]到a[j-1]与a[j+1]到a[n]中的数线性表示
  其中a[j+1]到a[n]中至少存在一个
  那么我们用a[j]替换这个数，可以使得所有数的异或不为0
  又a[j]的价值一定比a[j+1]到a[n]中的任意一个大
  因此a[j]如果能够插入线性基，就一定会在答案里
  综上我们只需要按照value从大到小排序后依次插入线性基，把能够插入的累加到ans里即可

源代码

插入操作不知道是不是假的，但AC了……也有这么判断：if(!((data[i].id>>j)&1))。

• 这篇插入操作就是下面这种。
• 另一篇的查询位次的操作和插入时不同的。博主还在这句话旁边加了三个叹号当做注释。
• 这两种貌似都可以，我在这篇写了一些思考。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
int n;
struct Data{
    long long id, mogic;
    bool operator < (const Data & a)const{
        return mogic>a.mogic;
    }
}data[1010];

long long b[64];

long long ans=0;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&data[i].id,&data[i].mogic);

    std::sort(data+1,data+1+n);//降序
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=63;j>=0;j--)
        {
            if(!(data[i].id>>j)) continue;//这里这里
            if(!b[j]) {b[j]=data[i].id;break;}
            else data[i].id^=b[j];
        }
        if(data[i].id) ans+=data[i].mogic;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}