bzoj 4456 [Zjoi2016]旅行者

题面

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4456

题解

分治

设当前work的区间为(x1,y1,x2,y2)

我们将长边分成两半

不妨设长边是(x1,x2)

那么令mid=(x1+x2)/2

对于分界线(mid,y1)~(mid,y2)的所有点 我们做最短路

得到分界线上所有点到区间里任意点的最短路

那么对于询问(sx,sy,tx,ty) 我们可以枚举分界线上某一点(mid,y) 并且用dist((mid,y),(sx,sy))+dist((mid,y),(tx,ty))更新答案

然后对于(sx,sy)和(tx,ty)都落在分界线同一侧的询问我们递归求解

这样做的正确性：每一组询问，一定会经过某次的分界线，在计算到这条分界线的时候就可以算到答案

复杂度：T(n)=4T(n/2)+O(n*(m+nlogm))  m为边数也就是n^2

那么T(n)=n^3（这是n约等于m的情况） 可以通过这道题

n和m差距大的时候更快

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read(){
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=100100;
int n,m,q;
int a[150][maxn],b[150][maxn];
bool vis[150][maxn];
bool flag;
int res[100100];

struct P{
    int x;
    pair<int,int> y;
    bool operator <(const P &a) const{
        return x>a.x;
    }
};

priority_queue<P> pq;

struct query{
    int a,b,c,d;
    int p,ans;
    void input(){
        a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
    }
} que[100100];

int dis[150][maxn];
int num[150][maxn];

void update(int nwx,int nwy,int nwdis){
    //cout<<nwx<<' '<<nwy<<' '<<nwdis<<endl;
    if(dis[nwx][nwy]>nwdis){
        dis[nwx][nwy]=nwdis;
        pq.push(P{nwdis,make_pair(nwx,nwy)});
    }
}
void doit(int x,int y,int X1,int Y1,int X2,int Y2){
    //cout<<X1<<' '<<Y1<<' '<<X2<<' '<<Y2<<' '<<x<<' '<<y<<endl;
    for(int i=X1;i<=X2;i++)
        for(int j=Y1;j<=Y2;j++)
            dis[i][j]=1e9,vis[i][j]=0;
    dis[x][y]=0;
    pq.push(P{0,make_pair(x,y)});
    while(!pq.empty()){
        P nw=pq.top();
        pq.pop();
        int X=nw.y.first,Y=nw.y.second;
        //cout<<X<<' '<<Y<<' '<<dis[X][Y]<<endl;
        if(vis[X][Y]) continue;
        vis[X][Y]=1;int dist=dis[X][Y];
        if(X>X1) update(X-1,Y,dist+b[X-1][Y]);
        if(X<X2) update(X+1,Y,dist+b[X][Y]);
        if(Y>Y1) update(X,Y-1,dist+a[X][Y-1]);
        if(Y<Y2) update(X,Y+1,dist+a[X][Y]);
    }
}

void solve(int nwa,int nwb,int nwc,int nwd,int l,int r){
    //cout<<nwa<<' '<<nwb<<' '<<nwc<<' '<<nwd<<endl;
    if(l>r) return;
    int len1=nwc-nwa+1,len2=nwd-nwb+1;
    if(len1>=len2){
        int md=(nwa+nwc)>>1;
        for(int j=nwb;j<=nwd;j++){
            doit(md,j,nwa,nwb,nwc,nwd);
            for(int k=l;k<=r;k++){
                //cout<<que[k].p<<' '<<dis[que[k].a][que[k].b]<<' '<<dis[que[k].c][que[k].d]<<endl;
                que[k].ans=min(que[k].ans,dis[que[k].a][que[k].b]+dis[que[k].c][que[k].d]);
            }
        }
        if(nwa<md){
            int pos=l-1;
            for(int i=l;i<=r;i++){
                if(que[i].a<md && que[i].c<md) pos++,swap(que[i],que[pos]);
            }
            solve(nwa,nwb,md-1,nwd,l,pos);
        }
        if(md<nwc){
            int pos=l-1;
            for(int i=l;i<=r;i++){
                if(que[i].a>md && que[i].c>md) pos++,swap(que[i],que[pos]);
            }
            solve(md+1,nwb,nwc,nwd,l,pos);
        }
    }
    else{
        int md=(nwb+nwd)>>1;
        for(int i=nwa;i<=nwc;i++){
            doit(i,md,nwa,nwb,nwc,nwd);
            for(int k=l;k<=r;k++){
                //cout<<que[k].p<<' '<<dis[que[k].a][que[k].b]<<' '<<dis[que[k].c][que[k].d]<<endl;                
                que[k].ans=min(que[k].ans,dis[que[k].a][que[k].b]+dis[que[k].c][que[k].d]);
            }
        }
        if(nwb<md){
            int pos=l-1;
            for(int i=l;i<=r;i++){
                if(que[i].b<md && que[i].d<md) pos++,swap(que[i],que[pos]);
            }
            solve(nwa,nwb,nwc,md-1,l,pos);
        }
        if(md<nwd){
            int pos=l-1;
            for(int i=l;i<=r;i++){
                if(que[i].b>md && que[i].d>md) pos++,swap(que[i],que[pos]);
            }
            solve(nwa,md+1,nwc,nwd,l,pos);
        }
    }
}

int main(){
#ifdef LZT
    freopen("in","r",stdin);
    freopen("out","w",stdout);
#endif
    n=read();m=read();
    if(n>m) flag=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<m;j++){
            if(!flag) a[i][j]=read();
            else b[j][i]=read();
        }
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(!flag) b[i][j]=read();
            else a[j][i]=read();
        }
    }
    q=read();
    for(int i=1;i<=q;i++){
        que[i].input();
        if(flag) swap(que[i].a,que[i].b),swap(que[i].c,que[i].d);
        que[i].p=i;que[i].ans=2e9;
    }
    if(flag) swap(n,m);
    
    solve(1,1,n,m,1,q);

    for(int i=1;i<=q;i++)
        res[que[i].p]=que[i].ans;
    for(int i=1;i<=q;i++)
        printf("%d\n",res[i]);
    return 0;
}

/*
2 2
2
3
6 4
2
1 1 2 2
1 2 2 1
*/

Review

分治还是比较明显的

然而数据的处理十分麻烦

因为条件是n×m的范围

所以我们得同时考虑n=m和n>>m的情况

代码中的处理方法是跟别人学的 很棒棒 要多写几遍