序列维护 题解集
记录一些比较神必的维护序列的题目。
线段树
P4681 [THUSC2015]平方运算
简要题意
给定一个序列，区间 .map([](int x) { x = x * x % p; });，区间求和。
p 给定，为小质数。\(N,M\le 10^5\)。
题解
而把一个数看作一个点，向其平方取模连一条边，则最终必然构成一个基环森林，注意到 \(P\) 很小，每个数经过 \(11\) 次迭代之后就会进入环中。对于一个区间，如果区间中的每个元素都已经在环里，则区间所有元素所在环的大小的 \(\operatorname{lcm}\)，即为区间的循环节。而对于题目给出的 \(P\)，\(\operatorname{lcm}\le 60\)，记为 \(C\)。
先考虑初始是每个元素都在环内的时候怎么做：发现可以用线段树维护，对于每个区间，我们可以直接维护该区间的一个完整循环节，以及当前在循环节内的位置 now，则如果要对整个区间进行 \(k\) 次修改，则直接让 now 向前移动 \(k\) 即可，故可以 \(O(1)\) pushdown，如果一个区间的子区间被修改了，那么在 pushup 的时候直接根据两个子区间的循环节算出当前区间的循环节即可，复杂度 \(O(C)\)。
如果一个区间内包含不在环内的元素，则无法维护循环节，我们只维护当前区间的和，需要 pushdown 时暴力递归向子区间 pushdown。由于每个元素经过至多 \(S=11\) 次操作后进入环，简单均摊分析发现这一部分增添的复杂度是 \(O(nS\log n)\) 的。
总时间复杂度 \(O(n\log n(C+S))\) 可以通过。
对于循环移位维护一个循环节和当前位置的指针是十分显然的。
record
P8969 Dream with Dynamic
简要题意
给定一个序列，区间加，区间 popcount，单点求值。
题解
注意到经过一次 popcount 之后值域 \(\in[1, \log V]\)，故当一个区间经过 popcount 之后，所有的数被划分成了 \(\log V\) 个等价类，等价类内的元素在 popcount 之后相等，此时等价类内的 popcount 操作和加法操作可以看作赋值，可以维护，所以我们在每个节点出只要维护 \(\log V\) 个赋值操作即可：
若 \(popcounted=0\)，则表示操作 \(i\mapsto i+previous\_add\)，表示还没有经过 popcount 操作。
若 \(popcounted=1\)，则表示操作 \(i\mapsto map(popcount(i+previous\_add))\)，表示在 popcount 操作前做了的加法运算总和为 \(previous\_add\)，然后进行了一次 popcount，这之后的操作被转换为 \(\log V\) 种赋值操作存储在 \(map\) 里。
考虑两个操作 \(u,v\) 的复合 \(u\circ v\)，发现可以 \(O(\log V)\) 合并并且合并结果仍然可以表示为一个 \(tag\)，故可以使用线段树维护，复杂度 \(O(n\log n\log V)\)
