图形学（8）Path Tracing Algorithm

蒙特卡罗算法#

注意到对于一个连续随机变量 $X\sim p(x)$ ，则 $q(X)$ 的期望 $E[q(X)]=\displaystyle\int q(x)p(x)\mathrm d x$ 。

若要求积分 $\displaystyle\int f(x)\mathrm dx$ ，令随机变量 $X\sim p(x)$ ，则 $\displaystyle E[\frac{f(X)}{p(X)}]$ 即为所求，即有

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \frac{f (X_{i})}{p (X_{i})} \to \int f (x) d x

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{f(X_i)}{p(X_i)}\rightarrow \int f(x)\mathrm dx$

Path Tracing#

用蒙特卡洛解渲染方程即可，但有以下几点问题亟待解决：

每次计算积分要进行多少次采样
在封闭环境对渲染方程求解会导致无限递归

对于问题一，由于每次采样 $\#R$ 次，反射 $N$ 次后有 $\#R^N$ 条射线，复杂度指数级增长，故在 Path Tracing 算法中每次只追踪一条射线， $\#R=1$ 。
对于问题二，可以采取俄罗斯轮盘赌的方法，每次追踪有 $P$ 的概率继续追踪， $1-P$ 的概率结束追踪，若后续追踪得出的正确答案为 $L_o$ ，则进行俄罗斯轮盘赌后实际计算得到的结果期望是 $E=PL_o+0(1-P)=PL_o$ ，故要除掉一个 $P$ 保证算法结果的期望是正确的。

令函数 shade(p,wo) 表示计算点 p 在 wo 方向的亮度（颜色），有伪代码：

shade(p,wo)
    L_emit = self emit
    L_indir = 0.0
    Test Russian Roullete with probability P_RR
        Sample the hemisphere with PDF pdf_hemi and generate a ray r
            Trace the ray r
            if ray r hit a object at q
                L_indir = shade(q,-r) * brdf * cosine / pdf_hemi / P_RR
    return L_emit + L_indir

直接光采样#

蒙特卡洛的期望是正确的，但是不同的概率密度函数可以使蒙特卡罗更快的收敛，是我们在相同时间内得到质量更好的图像。事实上概率密度函数和被积函数越相似，收敛越快。
注意到由光源直接到 shading 处的贡献是很大的，我们把这一部分从渲染方程里面拆出来：

\begin{aligned} L_{r} (p, ω_{r}) = & \int_{H^{2}} f_{r} (p, ω_{i} \to ω_{r}) L_{i} (p, ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i} \\ = & \sum_{l i g h t} \int_{H^{2}} f_{r} (p, ω_{i} \to ω_{r}) L_{i} (p, ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i} + o t h e r s \end{aligned}

$\begin{align*} L_r(\mathbf p,\omega_r)=&\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\\ =&\sum_{light}\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm d\omega_i+others \end{align*}$

如果光源很小，那么在 $H^2$ 上进行蒙特卡罗是很浪费的：很多采样射线不经过光源，导致收敛很缓慢。注意到蒙特卡罗的概率密度函数是任取的，我们直接在光源上采样：

\begin{aligned} d ω = \frac{\cos θ^{'}}{d^{2}} d A \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm d\omega=\frac{\cos\theta'}{d^2}\mathrm dA \end{align*}$

所以有

\begin{aligned} \int_{H^{2}} f_{r} (p, ω_{i} \to ω_{r}) L_{i} (p, ω_{i}) \cos θ_{i} d ω_{i} \\ = & \int_{S} f_{r} (p, ω_{i} \to ω_{r}) L_{i} (p, ω_{i}) \frac{\cos θ_{i} \cos θ_{i}^{'}}{d^{2}} d A \end{aligned}

$\begin{align*} &\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm d\omega_i\\ =&\int_{S}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\frac{\cos\theta_i\cos\theta'_i}{d^2}\mathrm dA \end{align*}$

用蒙特卡洛积分即可。举个例子，对于亮度恒定为 $L$ ，面积为 $a$ 的面光源照射到 $f_r=\frac{1}{\pi}$ 的理想漫反射物体上，进行一次均匀的蒙特卡罗采样得到的积分结果为

\frac{1}{π} L \cos θ \cos θ^{'} \frac{1}{d^{2}} = \frac{L a \cos θ \cos θ^{'}}{π d^{2}}

$\frac{1}{\pi}L\cos\theta\cos\theta'\frac{1}{d^2}=\frac{La\cos\theta\cos\theta'}{\pi d^2}$

shade(p,wo)
    L_indir = 0.0
    L_dir = 0.0
    For all light
        Sample the Light with PDF pdf_light
            L_dir += L_i * f_r * cos theta * cos theta' / d ^ 2 / pdf_light
    Test Russian Roullete with probability P_RR
        Sample the hemisphere with PDF pdf_hemi and generate a ray r
            Trace the ray r
            if ray r hit a object at q
                L_indir = shade(q,-r) * brdf * cosine / pdf_hemi / P_RR
    return L_emit + L_indir