图形学（8）Path Tracing Algorithm

蒙特卡罗算法

注意到对于一个连续随机变量 \(X\sim p(x)\)，则 \(q(X)\) 的期望 \(E[q(X)]=\displaystyle\int q(x)p(x)\mathrm d x\)。

若要求积分 \(\displaystyle\int f(x)\mathrm dx\)，令随机变量 \(X\sim p(x)\)，则 \(\displaystyle E[\frac{f(X)}{p(X)}]\) 即为所求，即有

\[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \frac{f(X_i)}{p(X_i)}\rightarrow \int f(x)\mathrm dx \]

Path Tracing

用蒙特卡洛解渲染方程即可，但有以下几点问题亟待解决：

• 每次计算积分要进行多少次采样
• 在封闭环境对渲染方程求解会导致无限递归

对于问题一，由于每次采样 \(\#R\) 次，反射 \(N\) 次后有 \(\#R^N\) 条射线，复杂度指数级增长，故在 Path Tracing 算法中每次只追踪一条射线，\(\#R=1\)。
对于问题二，可以采取俄罗斯轮盘赌的方法，每次追踪有 \(P\) 的概率继续追踪，\(1-P\) 的概率结束追踪，若后续追踪得出的正确答案为 \(L_o\)，则进行俄罗斯轮盘赌后实际计算得到的结果期望是 \(E=PL_o+0(1-P)=PL_o\)，故要除掉一个 \(P\) 保证算法结果的期望是正确的。

令函数 shade(p,wo) 表示计算点 p 在 wo 方向的亮度（颜色），有伪代码：

shade(p,wo)
    L_emit = self emit
    L_indir = 0.0
    Test Russian Roullete with probability P_RR
        Sample the hemisphere with PDF pdf_hemi and generate a ray r
            Trace the ray r
            if ray r hit a object at q
                L_indir = shade(q,-r) * brdf * cosine / pdf_hemi / P_RR
    return L_emit + L_indir

直接光采样

蒙特卡洛的期望是正确的，但是不同的概率密度函数可以使蒙特卡罗更快的收敛，是我们在相同时间内得到质量更好的图像。事实上概率密度函数和被积函数越相似，收敛越快。
注意到由光源直接到 shading 处的贡献是很大的，我们把这一部分从渲染方程里面拆出来：

\[\begin{align*} L_r(\mathbf p,\omega_r)=&\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm{d}\omega_i\\ =&\sum_{light}\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm d\omega_i+others \end{align*} \]

如果光源很小，那么在 \(H^2\) 上进行蒙特卡罗是很浪费的：很多采样射线不经过光源，导致收敛很缓慢。注意到蒙特卡罗的概率密度函数是任取的，我们直接在光源上采样：

\[\begin{align*} \mathrm d\omega=\frac{\cos\theta'}{d^2}\mathrm dA \end{align*} \]

所以有

\[\begin{align*} &\int_{H^2}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\cos\theta_i\mathrm d\omega_i\\ =&\int_{S}f_r(\mathbf p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(\mathbf p,\omega_i)\frac{\cos\theta_i\cos\theta'_i}{d^2}\mathrm dA \end{align*} \]

用蒙特卡洛积分即可。举个例子，对于亮度恒定为 \(L\)，面积为 \(a\) 的面光源照射到 \(f_r=\frac{1}{\pi}\) 的理想漫反射物体上，进行一次均匀的蒙特卡罗采样得到的积分结果为

\[\frac{1}{\pi}L\cos\theta\cos\theta'\frac{1}{d^2}=\frac{La\cos\theta\cos\theta'}{\pi d^2} \]

shade(p,wo)
    L_indir = 0.0
    L_dir = 0.0
    For all light
        Sample the Light with PDF pdf_light
            L_dir += L_i * f_r * cos theta * cos theta' / d ^ 2 / pdf_light
    Test Russian Roullete with probability P_RR
        Sample the hemisphere with PDF pdf_hemi and generate a ray r
            Trace the ray r
            if ray r hit a object at q
                L_indir = shade(q,-r) * brdf * cosine / pdf_hemi / P_RR
    return L_emit + L_indir