线性规划 题解集

P6631 [ZJOI2020] 序列#

题解#

注意到原题是个整数规划，记所有操作的集合为 $\mathcal{I}$，操作 $i$ 的次数为 $x_i$ 化成标准型如下：

$$\begin{align*} &\min\sum_{i\in\mathcal{I}}x_i\\ s.t.\ & \sum_{i\ni j}x_i=a_j & (q_j)\\ & x_i\ge 0, x_i\in \mathbb{Z} \end{align*}$$

注意到我们有几乎充分的理由认定该线性规划的约束矩阵 $A$ 是一个全单模矩阵，故我们去掉 $x_i\in\mathbb{Z}$ 的限制，做对偶，有

$$\begin{align*} &\max\sum_{i=1}^n a_iq_i\\ s.t.\ & \forall S\in\mathcal{I},\sum_{i\in S}q_i\le 1 \end{align*}$$

由全单模性，最有整数解存在，考虑操作 $\{i\}$，有 $a_i\le 1$，易证 $a_i\rightarrow max(a_i,-1)$ 的替换是合法的，故 $a_i\in\{-1,0,1\}$，动态规划即可，复杂度 $O(n)$。

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qoj5036 [集训队互测2022] 卑鄙的下毒人#

题解#

记前缀和为 $b_{0...n}$ 即要求

$$\min k(b_n-b_0)+\sum\max(0,a_i-(b_{r_i}-b_{l_i-1}))\\ s.t.\ \forall i\in[0,n),b_{i+1}\ge b_i$$

注意到原题的目标函数和约束都为差分形式，考虑最大费用循环流的对偶：

$$\min\sum cap_e\max(0, cost_e-p_u+p_v)\\ $$

建图：

• $\text{goal}\leftarrow k(b_n-b_0)$：$0\xrightarrow[cost=0]{cap=k} n$
• $\text{goal}\leftarrow max(0,a_i-(b_{r_i}-b_{l_i-1}))$：$r\xrightarrow[cost=a_i]{cap=1}l-1$
• $\text{constrait}:b_{i+1}\ge b_i$：$i+1\xrightarrow[cost=0]{cap=+\infin}i$

观察图易知答案等价于选择 $k$ 个互不相交的集合，集合内的区间互不相交，最大化权值和。

可以直接贪心算法，又或者去掉 $0\xrightarrow[cost=0]{cap=k} n$，跑最大费用最大流，第一次增广由于是 DAG，按照拓扑序计算最短路，这之后使用 dijkstra algorithm。复杂度 $O(km\log m)$。

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CF1307G Cow and Exercise#

题解#

很容易利用差分约束将最短路写成线性规划形式：

$$\begin{gathered} \min d_t-d_s\\ s.t.\ d_v\le d_u+w_{uv}\\ d\ge 0 \end{gathered}$$

则本题的线性规划形式为

$$\begin{gathered} p^*=\min d_t-d_s\\ s.t.\ \ d_v-d_u-x_{uv}\le w_{uv} & (\alpha_{uv})\\ \sum x_{uv}\le x & (\beta)\\ d,x\ge 0 \end{gathered}$$

对偶为

$$\begin{gathered} d^*=\max x\beta+\sum w_{uv}\alpha_{uv}\\ s.t.\ \ \sum \alpha_{iu}-\sum\alpha_{ui}\ge0\ \ (i\notin \{s,t\})\\ \sum \alpha_{is}-\sum\alpha_{si}\ge-1\\ \sum \alpha_{it}-\sum\alpha_{ti}\ge1\\ -\alpha_{uv}+\beta\ge 0\\ \alpha,\beta\ge0 \end{gathered}$$

注意到可以构造 $p^*$ 的一个最优解 $d^*$ 满足 $\forall i,d^*_i\ne 0$，由互补松弛定理有对任意 $d^*$ 的最优解 $(\alpha,\beta)^*$，都有不等式一二三是紧的，则有

$$\begin{gathered} d^*=\max_{\alpha,\beta} x\beta+\sum w_{uv}\alpha_{uv}\\ s.t.\ \ \sum \alpha_{iu}-\sum\alpha_{ui}=0\ \ (i\notin \{s,t\})\\ \sum \alpha_{is}-\sum\alpha_{si}=-1\\ \sum \alpha_{it}-\sum\alpha_{ti}=1\\ \beta\ge \alpha_{uv}\\ \alpha,\beta\ge0 \end{gathered}$$

考虑先枚举 $\beta$，记 $\gamma=\frac{\alpha}{\beta}$，则有

$$\begin{gathered} f(\beta)=\max_\gamma \beta(x+\sum w_{uv}\gamma_{uv})\\ s.t.\ \ \sum\gamma_{iu}-\sum\gamma_{ui}=0\ \ (i\notin\{s,t\})\\ \sum\gamma_{is}-\sum\gamma_{si}=-\frac{1}{\beta}\\ \sum \gamma_{it}-\sum\gamma_{ti}=\frac{1}{\beta}\\ 0\le \gamma_{uv}\le 1 \end{gathered}$$

记 $\theta=\frac{1}{\beta}$，则有 $\displaystyle{\sum w_{uv}\gamma_{uv}}$ 为流量刚好为 $\theta$ 时的最小费用流的费用大小，即要求

$$\max_\theta g(\theta)=\frac{x+[\text{mincost of flow}\ \theta]}{\theta}$$

注意到 $\theta$ 是实数，但是如果取 $\theta=v+\epsilon(\epsilon\in[0,1])$，则有在某个区间 $[v_0,v_0+1]$ 中，记当前未走满的增广路费用为 $f$，已走满的增广路费用之和为 $t$，则有

$$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm d \epsilon}=(\frac{x+t+\epsilon f}{v_0+\epsilon})'=(\frac{c_0+\epsilon f}{v_0+\epsilon})'=\frac{v_0f-c_0}{(v_0+\epsilon)^2} \end{align*}$$

符号与 $\epsilon$ 无关，在区间内单调，故最值总在整数处取到，预处理出流量为整数的费用，查询时取最好的即可。

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