P3530[POI2012 FES-Festival] 题解

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简要题意

对于数列 \(\{v_n\}\)，有两种约束 \(v_i=v_j+1\) 和 \(v_i\ge v_j\)，问 \(\{v_n\}\) 最多有多少个不同的项。

解法

考虑先建图，注意到如果约束图是 DAG，那么我们按照拓扑序给每一个点赋充分大的权，则必然可以做到节点两两权值不等。于是考虑 tarjan 缩点，对于每个 SCC 分别计算，答案为所有 SCC 答案的总和。

对于一个 SCC，由于其强连通性，任意两个点之间都能找到对方的上下界，考虑钦定两个点 \(x,y\)，让其点权 \(v_x,v_y\) 为所有点权中的最小和最大值，为了让不重复的点权数量最多，我们让 \(v_y=v_x+d(x,y)\)，并让 \(x,y\) 遍历整个 SCC，则可以注意到 \(\max\limits_{x,y}\{v_y-v_x+1\}=\max\limits_{x,y}\{d(x,y)\}\) 是该 SCC 的答案的一个上界。容易证明，答案可以达到这个上界。

故最终答案为 \(\displaystyle\sum_{s\in SCC}\max_{x,y\in s}\{d(x,y)\}\)

总结

解决某些最优化问题时，如果从正面直接计算不可行，可以钦定最优解满足某些条件，简单地求出此时的答案，使得若最优解不满足该条件，则得到的答案劣于最优解，而不会干扰最终的答案，且必然可以枚举到最优解。

例如本题中某些 \(x,y\) 甚至不存在以他们为最小值和最大值的差分约束解，但是一定存在一对 \(x,y\) 是最终答案的最小值和最大值，而其他的 \(x,y\) 计算出的答案并不会大于最优解，所以最终可以得到正确的答案。