图形学（1）简单三维变换

缩放

。。。

平移

。。。

旋转

绕坐标轴的旋转矩阵

记 $R_x(\alpha)$ 为绕 $x$ 轴顺时针旋转 $\alpha$ ，以此类推。

\begin{aligned} R_{x} (α) = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α & 0 \\ 0 & \sin α & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ R_{y} (α) = [\begin{matrix} \cos α & 0 & \sin α & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \sin α & 0 & \cos α & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \\ R_{z} (α) = [\begin{matrix} \cos α & - \sin α & 0 & 0 \\ \sin α & \cos α & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} & \mathbf R_x(\alpha)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ & \mathbf R_y(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ & \mathbf R_z(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$

罗德里格旋转公式（Rodrigues' Rotation Formula）

R (n, α) = \cos α I + (1 - c o s α) n n^{⊤} + s i n α [\begin{matrix} 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{matrix}]

$\mathbf R(\mathbf n,\alpha)=\cos\alpha\mathbf I+(1-cos\alpha)\mathbf{nn^\top}+sin\alpha\begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y\\ n_z & 0 & -n_x\\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix}$