游戏

题目链接

• 要统计差值为k的数对(i,j)的数量，这种感觉类似于卷积，我们把和差放到幂次中体现，就可以用NTT做到O(\(a_iloga_i\))
• 其中，对于差值为0的特殊情况，不仅需要减去数自匹配的n种情况，还要除以2
• NTT要预处理step+倍增法优化，否则会TLE
• 将游戏每轮的操作抽象为数学函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int a[1000005];
int v[10000005],prime[10000005],m;
long long cnt[1000005],inv[10000005];
long long f[500005];
int rev[5000005],p[5000005][2];
int power(int n,int p)
{
    if(p==0)
    {
        return 1;
    }
    long long tmp=power(n,p/2);
    if(p%2==1)
    {
        return tmp*tmp%mod*n%mod;
    }
    return tmp*tmp%mod;
}
void NTT(vector<long long>&f,int opt)
{
    int n=f.size();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(i<rev[i])
        {
            swap(f[i],f[rev[i]]);
        }
    }
    for(int m=2;m<=n;m*=2)
    {
        int k=m/2;
        for(int i=0;i<n;i+=m)
        {
            long long cur=1,step;
            if(opt==1)
            {
                step=p[m][0];
            }
            else
            {
                step=p[m][1];
            }
            for(int j=0;j<k;j++)
            {
                long long tmp=cur*f[i+j+k]%mod;
                f[i+j+k]=(f[i+j]-tmp)%mod;
                f[i+j]=(f[i+j]+tmp)%mod;
                cur=cur*step%mod;
            }
        }
    }
}
vector<long long> operator*(vector<long long>a,vector<long long>b)
{
    vector<long long>c(a.size()+b.size()-1);
    while(c.size()<(1<<22))
    {
        c.push_back(0);
    }
    while(a.size()<c.size())
    {
        a.push_back(0);
    }
    while(b.size()<c.size())
    {
        b.push_back(0);
    }
    NTT(a,1),NTT(b,1);
    for(int i=0;i<c.size();i++)
    {
        c[i]=a[i]*b[i]%mod;
    }
    NTT(c,-1);
    int p=power(c.size(),998244351);
    for(int i=0;i<c.size();i++)
    {
        c[i]=c[i]*p%mod;
    }
    return c;
}
vector<long long>c,c1(2000001),c2(2000001);
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    for(int i=1;i<(1<<22);i++)
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1);
        if(i&1)
        {
            rev[i]+=(1<<21);
        }
    }
    for(int i=1;i<=22;i++)
    {
        p[1<<i][0]=power(3,998244352/(1<<i));
        p[1<<i][1]=power(3,998244352-998244352/(1<<i));
    }
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(v[i]==0)
        {
            v[i]=i;
            prime[++m]=i;
            inv[i]=power(i,998244351);
        }
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i*prime[j]>10000000||prime[j]>v[i])
            {
                break;
            }
            v[i*prime[j]]=prime[j];
            inv[i*prime[j]]=inv[i]*inv[prime[j]]%mod;
        }
    }
    long long n,t;
    cin>>n>>t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        c1[a[i]+1000000]++;
        c2[-a[i]+1000000]++;
    }
    c=c1*c2;
    for(int i=0;i<1000000;i++)
    {
        cnt[i]=c[-i+2000000];
    }
    cnt[0]-=n;
    cnt[0]=cnt[0]*power(2,998244351)%mod;
    long long p1=(n-2)*power((n*(n-1)/2)%mod,998244351)%mod,p1inv=power(p1,998244351);
    vector<long long>a(t+1);
    a[0]=power(p1,t);
    a[1]=power(p1,t-1)*(1-2*p1)%mod*t%mod;
    for(int i=1;i<t;i++)
    {
        a[i+1]=((1-2*p1)%mod*a[i]%mod*t%mod+2*p1*t%mod*a[i-1]%mod-i*a[i]%mod*(1-2*p1)%mod-a[i-1]*(i-1)%mod*p1%mod)%mod*inv[i+1]%mod*p1inv%mod;
    }
    long long ans=0;
    for(int i=max(0ll,t-1000000);i<=t;i++)
    {
        ans=(ans+cnt[t-i]*a[i]%mod)%mod;
    }
    cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}