主席树初步
前置知识
1.线段树。。。
（好像没了
2.（可知可不知，可能会有帮助）动态开点线段树
主席树(可持久化线段树)
一看可持久化,我们总会想到一些恐怖的算法.但是其实理解并不难,而这里我只是将主席树的思想讲清楚(尽量),题还是自己刷(虽然我就没刷几道
先看一道 模板题
题目描述
如题，给定N个整数构成的序列，将对于指定的闭区间查询其区间内的第K小值。
输入格式
第一行包含两个正整数N、M，分别表示序列的长度和查询的个数。
第二行包含N个整数，表示这个序列各项的数字。
接下来M行每行包含三个整数l,r,k l, r, kl,r,k , 表示查询区间[l,r][l, r][l,r]内的第k小值。
输出格式
输出包含k行，每行1个整数，依次表示每一次查询的结果
我们发现这道题很难处理,因为我们没有学过什么数据结构可以维护区间第k大;
那么如何处理这个数组是一个关键;
回顾一下,我们在求前缀和时,如何求一个区间的和?用一个前缀和去减另一个前缀和.
类比一下,我们是否可以用一个区间减去另一个区间得到第k大?
是可以的.这里引入平衡树中一个操作,平衡树左子树维护比这个节点值小的子树,右子树维护比这个节点值大的子树;
平衡树是如何操作的呢?
保存每个节点的子树大小,比较排名k与左子树的大小,排名k小于左子树大小,那么我们要找的点一定在左子树上,那么走左子树;
如果排名比左子树大,那么将排名减去左子树大小和自身,走右子树
注意,这个一定要看懂!
这个概念如果理解了话,那么就简单了.考虑线段树也是一颗二叉树,与平衡树一个性质,并且线段树本质维护的就是区间,那么我们考虑维护一个值域线段树.
那么就可以初略的定义,主席树是维护一颗值域线段树,将每一个位置作为一个时间点,继承前一个点,并添加自己的值.
如果要求区间 l 到 r 第k大,那么就可以用 r 时间点的线段树减去 l - 1 时间点的线段树,然后得到这个区间中某个值域中有多少个数,然后用上面所说类似于平衡树的做法,
(图我是真的画不出来了QAQ)
为了补偿,在代码中会有详细解释
Code
#include<bits/stdc++.h> #define maxn 400007 using namespace std; int n,m,tot,a[maxn],b[maxn]; template<typename type_of_scan> inline void scan(type_of_scan &x){ type_of_scan f=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();} x*=f; } template<typename Tops,typename... tops> inline void scan(Tops &x,tops&... X){ scan(x),scan(X...); } template<typename type_of_print> inline void print(type_of_print x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); putchar(x%10+'0'); } struct node{ int l,r,sum; }; struct tree{ node tr[maxn*20];int t[maxn>>1]; void add(int &rt,int pre,int l,int r,int x){ rt=++tot;//建一个点保存新的信息 tr[rt]=tr[pre],tr[rt].sum++; //继承前面节点,并且添加自身 if(l==r) return ; int mid=l+r>>1;//这里需要注意,l和r是表示值域 if(mid>=x) add(tr[rt].l,tr[pre].l,l,mid,x); else add(tr[rt].r,tr[pre].r,mid+1,r,x); //这里就可以看出主席树的优越性,每一次建logn个点 } //从此可以看出来,每次加的只有一条从根到叶子的新边(其他边是继承前面的 //因此空间复杂度nlogn,注意一下数组 int query(int u,int v,int l,int r,int k){ if(l==r) return l;//返回位置 int mid=l+r>>1; int x=tr[tr[v].l].sum-tr[tr[u].l].sum; //用时间靠后的减去时间靠前的, //得到区间信息 if(k<=x) return query(tr[u].l,tr[v].l,l,mid,k); else return query(tr[u].r,tr[v].r,mid+1,r,k-x); //类似于平衡树操作 } }t; int main(){ scan(n,m); for(int i=1;i<=n;i++) scan(a[i]),b[i]=a[i]; sort(b+1,b+1+n); int ol=unique(b+1,b+1+n)-b-1; for(int i=1;i<=n;i++){ a[i]=lower_bound(b+1,b+1+ol,a[i])-b; //离散化 t.add(t.t[i],t.t[i-1],1,ol,a[i]); //注意建立新的节点时,要继承前一个时间段的 }//不用建树,直接上 for(int i=1,l,r,k;i<=m;i++){ scan(l,r,k); int pos=t.query(t.t[l-1],t.t[r],1,ol,k); printf("%d\n",b[pos]); } return 0; }
总结
这样大概就讲完了思想,这里介绍一道 水题 ,不过对于加深主席树的思想有重大帮助(将主席树看成一颗前缀线段树)
我会附上我的代码(因为码风大家都不太相同,如果与我的码风相似了话,看起来就会很享受)
Code
#include<bits/stdc++.h> #define maxn 100007 using namespace std; int n,m,fa[maxn],head[maxn],son[maxn],sz[maxn],ol; int T[maxn],tot,a[maxn],top[maxn],dep[maxn],b[maxn]; int lastans,cent; struct node{ int next,to; }edge[maxn<<1]; struct ML{ int l,r,sum; }; template<typename type_of_scan> inline void scan(type_of_scan &x){ type_of_scan f=1;x=0;char s=getchar(); while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();} while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();} x*=f; } template<typename Tops,typename... tops> inline void scan(Tops &x,tops&... X){ scan(x),scan(X...); } template<typename type_of_print> inline void print(type_of_print x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) print(x/10); putchar(x%10+'0'); } inline void add(int u,int v){ edge[++cent]=(node){head[u],v};head[u]=cent; edge[++cent]=(node){head[v],u};head[v]=cent; } struct tree{ ML tr[maxn*20]; void add(int &rt,int pre,int l,int r,int x){ rt=++tot; tr[rt]=tr[pre],tr[rt].sum++; if(l==r) return ; int mid=l+r>>1; if(x<=mid) add(tr[rt].l,tr[pre].l,l,mid,x); else add(tr[rt].r,tr[pre].r,mid+1,r,x); } int query(int u,int v,int lca,int flca,int l,int r,int k){ if(l==r) return l; int mid=l+r>>1; int x=tr[tr[u].l].sum+tr[tr[v].l].sum-tr[tr[lca].l].sum-tr[tr[flca].l].sum; if(k<=x) return query(tr[u].l,tr[v].l,tr[lca].l,tr[flca].l,l,mid,k); else return query(tr[u].r,tr[v].r,tr[lca].r,tr[flca].r,mid+1,r,k-x); } }t; void dfs1(int x){ sz[x]=1;t.add(T[x],T[fa[x]],1,ol,a[x]); for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){ int y=edge[i].to; if(y==fa[x]) continue; fa[y]=x;dep[y]=dep[x]+1; dfs1(y);sz[x]+=sz[y]; if(sz[son[x]]<sz[y]) son[x]=y; } } void dfs2(int x,int tp){ top[x]=tp; if(!son[x]) return ; dfs2(son[x],tp); for(int i=head[x];i;i=edge[i].next){ int y=edge[i].to; if(y==fa[x]||y==son[x]) continue; dfs2(y,y); } } int get_lca(int x,int y){ while(top[x]!=top[y]){ if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); x=fa[top[x]]; } return dep[x]<dep[y]?x:y; } int main(){ scan(n,m); for(int i=1;i<=n;i++) scan(a[i]),b[i]=a[i]; sort(b+1,b+1+n); ol=unique(b+1,b+1+n)-b-1; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(b+1,b+1+ol,a[i])-b; for(int i=1,u,v;i<=n-1;i++) scan(u,v),add(u,v); dfs1(1),dfs2(1,1); for(int i=1,u,v,k;i<=m;i++){ scan(u,v,k);u^=lastans; int lca=get_lca(u,v); int pos=t.query(T[u],T[v],T[lca],T[fa[lca]],1,ol,k); printf("%d\n",b[pos]);lastans=b[pos]; } }
如果你看完了这篇博客并想骂博主讲的太简单,说明你已经超越博主了QAQ
end
