欧拉函数
euler函数
euler函数是表示从1~n中与n互质的个数，互质的定义简单提一下，\(gcd(a,b)=1\)。
那么如何求一个数的euler函数？
我们可以将每个数与n求gcd一下，如果gcd为1，则贡献加1，时间复杂度为 \(O(n logn)\)，极其优秀（雾）
那么来思考更加优秀的算法（为什么一定要求euler函数(\(\varphi(n)\)函数)呢QAQ）
引论
在算法基本定理中，\(N=p1^{c1}*p2^{c2}*p3^{c3}...\)，其中pi为质因数，那么：
\(\varphi(N)=N*\frac{p1-1}{p1}*\frac{p2-1}{p2}...=\frac{pn-1}{pn}=N*\prod_{p|n} \frac{p-1}{p}\)
简单证明：
设p是N的质因子，那么显然p的倍数与N不互质，这些数分别是\(p*1,p*2...p*N/p\)，
显然有N/p个，那么我们可以减去这N/p个。设q是N的质因子，那么同理，q的倍数的个数有N/q个，那么在这N/p和N/q个当中有同时是p和q的倍数的，而我们多减了一次，我们容斥一下可以得到：
\(\varphi(N)=N-N/p-N/q+N/pq=N*(q-1)/q*(p-1)/p\)
那么推广到全部即可；
实现
我们可以枚举其质因数，不用素数筛，当中我们可以直接用自然数筛，将N中所有的该数倍数筛掉，那么之后的合数必然是之前质因数的组合乘积，但是我们已经筛掉，所以不可能筛到合数，并且我们只用筛到\(\sqrt{n}\)即可，这个证明较简单，不再赘述。
code
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
int n,lim,ans;
scanf("%d",&n);
lim=sqrt(n),ans=n;
for(int i=2;i<=lim;i++)
if(!(n%i)){
ans=ans/i*(i-1);
while(!(n%i)) n/=i;
}
if(n>1) ans=ans/n*(n-1);//质因数大于sqrt(n)
}
性质
1.如果n>1，1~n中与n互质的数的和为\(n*\varphi(n)/2\)
简单证明：
根据更相减损术可得，\(gcd(a,b)=gcd(a,a-b)\)，那么与n互质的数成对出现，则平均数为n/2，那么易得到结论；
2.如果a,b互质,\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)
简单证明：
根据euler函数的计算公式可得：
\(\varphi(ab)=ab*\prod_{p|ab}(p-1)/p=a*\prod_{p|a}(p-1)/p *b*\prod_{p|b}(p-1)/p=\varphi(a)*\varphi{b}\)
定义：满足性质2的为积性函数
3.如果\(f(n)\)为积性函数，\(n=\prod_{i=1}^{m}p_{i}^{c_{i}}\)，那么\(f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(pi^{c_{i}})\)
简单证明：
类比积性函数的定义和定义式可以得到
4.设p为质数,p|n且\(p^{2}|n\),那么\(\varphi(n)=varphi(n/p)*p\)
简单证明:
这个就很好证了,显然p和n/p的质因数相同,那么定义式中只有N是不同的,那么拆开再合并定义式就可以得到结论;
5.设p为质数,p|n但\(p^{2}\not\mid n\),那么\(\varphi(n)=\varphi(n/p)*(p-1)\)
简单证明:
显然,p与n/p互质,那么根据积性函数\(\varphi(n)=\varphi(n/p)*\varphi(p)\),当中\(\varphi(p)=p-1\)(因为p是质数),那么结论显然;
以上性质4,5可以用来线性求euler函数,在后面会提到
6.\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
证明忽略(雾
euler函数的线性筛法
如果要求1~n的euler函数,那么如何求解?
暴力解法,对每一个数进行求解,那么可以得到一个\(O(n\sqrt{n})\)的算法;
如何更优?
运用性质4,5即可,在素数筛的过程中进行性质4,5的判断,然后统计;
code
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100008
using namespace std;
int n,prim[maxn],vis[maxn],euler[maxn],m;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
vis[i]=i;prim[++m]=i;
euler[i]=i-1;//这个很好理解
}
for(int j=1;j<=m;j++){
if(prim[j]>vis[i]||prim[j]*i>n) break;
vis[prim[j]*i]=prim[j];
//素数筛
euler[prim[j]*i]=euler[prim[j]]*(i%prim[j]?(prim[j]-1):(prim[j]));
//性质4,5的判断
}
}
return 0;
}
欧拉定理
简述:
\(gcd(a,b)=1,a^{\varphi(b)}\equiv1(mod b)\)
证明略(不会(雾
拓展欧拉定理
简述;
\(gcd(a,n)=1,则a^{b}\equiv a^{b\%\ \varphi(n)}(mod n)\)
简单证明:
设\(b=p*\varphi(n)+r\),那么\(r= b(mod \varphi(n))\),由欧拉定理可得:
\(a^{b}=a^{p*\varphi(n)+r}=(a^{\varphi(n)})^p*a^{r} \equiv 1^{p}*a^{r} \equiv a^{r} \equiv a^{b \%\ \varphi(n)}\)
