一维以及二维的差分的简述

　　差分，也就是数与数之间的差值。拿一维差分来举例子，将差分设为c[ ]数组，原数为a[ ],那么

　　$c[i]=a[i]-a[i-1]$

　　这便是简单的差分数组；

　　那么要他何用？

　　最为主要的作用就是区间的修改，那么在修改之前，我们先明白如何将原数求出。很显然，c[1]~c[i]差分数组求和即可得到a[i]。

　　那区间修改呢？

　　如我们将从l到r的区间加上s（减去也一样），那么由差分数组的定义得，观察数组，发现只有c[l]和c[r+1]变化了。

　　具体证明可以手动模拟，而中间的不变是因为i项与i-1项都加上了s，差值不变;

　　那么这样就能得到

　　$a[l]~a[r]+=s-->c[l]+s,c[r+1]+s$

　　这样就实现了O（1）修改；

　　当然还有区间求和，这里给出证明

　　这样我们可以发现一个规律，即第二个多项式的系数为i-1

　　那么我们用c2[ ]来维护这个数组，那么

　　c2[i]=(i-1)*c[i];

　　并且在修改时维护c2[ ]数组，即

　　$c[l]+(l-1)*s,c[r+1]-(r+1-1)*s$

　　之后便有了公式

　　

　　这里便是一维差分

 

　　二维差分的推导

　　这里的推导只是单纯的根据一维差分和二维前缀和的性质来推的

　　二维前缀和请务必提前了解，并有一定的认识；

　　那么开始推导；

　　根据二维前缀和表示的是右上角矩形的和，由于差分只涉及前面相邻的数（由一维可以推出），并且由前面范围的数相加得到这个位置的数；

　　那么类比二维前缀和和一维差分，可以简单推测出二维差分的公式

　　$c[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$

 　　是不是觉得非常眼熟？

　　我们再代入检验，即将左上角的矩阵差分求和，正好得到了这个数·

　　这还并不能代表什么，重要的是区间的修改；

　　同样，我们将要修改的矩阵的右上角设为（x1,y1),右下角设为(x2,y2)

　　

　　我们发现有影响的只有我所标注的点，除了（x2,y2）,这个应该很好看出；

　　那么，我们就得到公式

　　$c[x1][y1]+=s,c[x1][y2+1]-=s,c[x2+1][y1]-=s,c[x2+1][y2+1]+=s$

　　推荐自己再推一遍。

　　之后求数只需累加即可。