倍增LCA学习笔记

前言

​ “倍增”，作为一种二进制拆分思想，广泛用于各中算法，如$ST$表，求解$LCA$等等...今天，我们仅讨论用该思想来求解树上两个节点的$LCA$（最近公共祖先）

“倍增”是什么东西？

​ 倍增就是“成倍增加”的意思，比如$1$倍增后变成了$2$，$2$倍增后就变成了$4$，$4$变成$8$，以此类推...

实现

一直向上LCA

​ 在讲真正的倍增之前，我们先来说说最朴素的$LCA$，对于需要求解的两个点$(x,y)$，我们最先能想到的方法就是两个点先到达同一深度，然后一直往上跳父亲，知道两个点跳到同一个点上，这个点就是$LCA$。

int LCA (int x, int y) {
    if (depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    while(depth[x] != depth[y]) x = fa[x];
	while(x != y) x = fa[x], y = fa[y];
	return x;
}

​ 不难发现，这种算法的时间开销很大，我们想办法来优化它。

倍增LCA

​ 就如同$ST$表一样，我们不妨设$f[i][j]$表示树上编号为$i$的节点向上跳$2^j$个节点后所达到的节点，如同$ST$表的预处理，我们很容易发现如何预处理出这个$f$数组：

f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1];

​ 显然，$i$往上跳$2^{{j-1}$次之后再跳$2}$次之后就相当于$i$往上跳$2^j$次，我们可以借此来优化，利用二进制优化背包的思想那样，将跳的次数二进制拆分。

​ 于是，我们改写一下之前的代码

int LCA (int x, int y) {
    if (depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    for (int i = LogN; i >= 0; --i)
        if (depth[f[x][i]] >= depth[y])
            x = f[x][i];
    if (x == y) return x;
    for (int i = LogN; i >= 0; --i)
        if (f[x][i] != f[y][i])
            x = f[x][i], y = f[y][i];
    return f[x][0];
}

​ 这样一来，速度就快很多了，由原来的$O(Depth)$变成了现在的$O(log_2(Depth))$

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
typedef int ll;

const ll N = 5e5 + 10, M = 5e5 + 10, LogN = 25;
ll n, m, s, depth[N], f[N][LogN], a, b, c;
ll from[N], to[M << 1], nxt[M << 1], cnt, tmp, Log[N];
inline void swap (ll &a, ll &b) {tmp = a, a = b, b = tmp;}
//链式前向星加边
void addEdge (ll u, ll v) {
	to[++cnt] = v, nxt[cnt] = from[u], from[u] = cnt;
}
//计算深度&计算祖先
void doit (ll u, ll fa) {
	depth[u] = depth[fa] + 1;
	for (register ll i = 1; i <= Log[n]; ++i) {
		if ((1 << i) >= depth[u]) break;
		f[u][i] =  f[f[u][i - 1]][i - 1];
	}
	for (register ll i = from[u]; i; i = nxt[i]) {
		ll v = to[i];
		if (v == fa) continue;
		f[v][0] = u;
		doit (v, u);
	}
}
//计算LCA
inline ll LCA (ll x, ll y) {
	if (depth[x] < depth[y]) swap(x, y);
    //我们默认x为更深的那个点
	for (register ll i = 0; i <= Log[n]; ++i)
        if (depth[f[x][i]] >= depth[y])
            x = f[x][i];
    //将x跳到和y同一深度上
	if (x == y) return x;
	for (register ll i = Log[n]; i >= 0; --i)
		if (f[x][i] != f[y][i])
			x = f[x][i], y = f[y][i];
    //一起向上跳
	return f[x][0];
    //不难看出，此时两个点均在其LCA的下方，往上跳一次即可
}

int main () {
	scanf ("%d%d", &n, &m);//n节点数 m询问次数
	Log[0] = -1;
	for (register ll i = 1, u, v; i < n; ++i) {
		scanf ("%d%d", &u, &v);
		addEdge (u, v); addEdge(v, u);
		Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
	}
	Log[n] = Log[n >> 1] + 1;
	doit (1, 0);
	while (m--) {
		scanf ("%d%d", &a, &b);
		printf ("%d\n", LCA(a, b)));
	}
	return 0;
}