FFT实现高精度乘法

你应该知道$FFT$是用来处理多项式乘法的吧。

那么高精度乘法和多项式乘法有什么关系呢？

观察这样一个$20$位高精度整数$11111111111111111111$

我们可以把它处理成这样的形式：$\sum_{i=0}^{19}1\times10^i$

这样就变成了一个多项式了！

直接上代码吧（以$Luogu\ P1919$为例）：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using std::swap;

const int N = 1.4e5 + 10;
const double Pi = acos(-1);
int n, m, r[N], P, ans[N];
char s[N];
struct C { double x, y; } a[N], b[N];
C operator + (C a, C b) { return (C){ a.x + b.x, a.y + b.y }; }
C operator - (C a, C b) { return (C){ a.x - b.x, a.y - b.y }; }
C operator * (C a, C b) { return (C){ a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + b.x * a.y }; }

void FFT(C f[], int opt) {
    for(int i = 0; i < n; ++i) if(i < r[i]) swap(f[i], f[r[i]]);
    for(int len = 1, nl = 2; len < n; len = nl, nl <<= 1) {
        C rot = (C){cos(Pi / len), opt * sin(Pi / len)};
        for(int l = 0; l < n; l += nl) {
            C w = (C){1, 0}; int r = l + len;
            for(int k = l; k < r; ++k, w = w * rot) {
                C x = f[k], y = w * f[k + len];
                f[k] = x + y, f[k + len] = x - y;
            }
        }
    }
} 

int main() {
    scanf("%d%s", &n, s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i - 1].x = s[n - i + 1] - '0';
    scanf("%s", s + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) b[i - 1].x = s[n - i + 1] - '0';
    //将字符串转化为多项式的系数
    --n;
    for(m = n + n, n = 1; n <= m; n <<= 1, ++P);
    for(int i = 0; i < n; ++i) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (P - 1));
    //蝴蝶变换FFT
    FFT(a, 1), FFT(b, 1);
    for(int i = 0; i < n; ++i) a[i] = a[i] * b[i];
    FFT(a, -1);
    for(int i = 0; i <= m; ++i) ans[i] = (int)(a[i].x / n + .5);
    for(int i = 0, tmp1, tmp2; i < m; ++i)
        ans[i + 1] += (ans[i] / 10), ans[i] %= 10;
    //处理进位（每个系数最多为两位数）
    for(int i = m, flag = 0; i >= 0; --i) {
        if(ans[i] != 0) flag = 1;
        else if(!flag) continue;
        printf("%d", ans[i]); 
    }//flag为前导零标记
    return puts("") & 0;
}

$PS：$代码中没有处理$0\times0$的情况，请读者自行处理。