[洛谷P1734] 最大约数和 题解

前言#

某天在洛谷上无意点开了“背包”的标签，发现了这道题。点进去一看，这是背包？？？这是普及-？？？

后来想了想，其实倒也不难，但是感觉这道题很有意思，于是就放上来了。

题目描述#

选取和不超过S的若干个不同的正整数，使得所有数的约数（不含它本身）之和最大。

输入格式#

输入一个正整数S。

输出格式#

输出最大的约数之和。

样例#

样例输入#

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11

样例输出#

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9

样例说明#

取数字4和6，可以得到最大值(1+2)+(1+2+3)=9。

数据规模

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S<=1000

思路#

首先注意到数据范围，只有10的3次方。间接提示了做法是背包

因为要求选的每个数之和不超过S，不妨把S看做背包容量，那么每个数的值就是物品重量了。

然后因为题目要求约数和最大，所以不妨把约数和看做物品价值。

具体实现的时候还应注意，我们应该先把这S个数每个数的约数和处理出来，不然复杂度太大了。

处理方法：线性筛

代码#

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s;
int val[1005];
int dp[1005];

int main()
{
    cin >> s;
    for (int i = 1; i <= s; ++i)
        for (int j = 2; i * j <= s; ++j)
            val[i * j] += i;
    for (int i = 1; i <= s; ++i)
    {
        for (int j = s; j >= i; --j)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - i] + val[i]);
    }
    cout << dp[s] << endl;
}

后记#

按照这个思路可以出各种题啊（（（比如什么所有数的\(id^2*\phi\)和最大（（（